热门试卷

 设表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）

依据题意P（）=，=∅（i≠j）

（1）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”

P（B）=                      …………3分

（2）X的所有可能取值为0，1，2

P（X=0）= P（X=1）=

P（X=2）=                     …………6分

∴X的分布列为

……8分

           ∴X的数学期望为E（X）=               …………11分

（3）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。  …………13分

（1）在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边。

因为，，所以，所以。

因为四边形为正方形，，所以，而，

所以平面。----------- 4分

（2）因为,,两两互相垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为。

则由，即令，

则，所以。

设点E(m,n,0),

.由得:m+2n-6=0

所以|BE|的最小值为点B到线段: m+2n-6=0 的距离------- 13分

∵sin 2C＋2cos2C＋1＝3，∴2sin(2C＋)＋2＝3.

即sin(2C＋)＝，又∵0＜C＜π，∴＜2C＋＜π，即有2C＋＝，解得C＝.5分

（1）∵cos A＝，∴sin A＝.由正弦定理得＝，解得a＝.（8分）

（2）∵2sin A＝sin B，∴2a＝b，　①

∵c2＝a2＋b2－2abcos，∴a2＋b2－ab＝3.　②

由①②解得a＝1，b＝2，∴S△ABC＝×1×2×＝.（13分）

（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有，……4分

（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）

整理得：，即，………………7分

（1），化简得，     

所以，。                                                               

（2）。           

因为，，所以。

故，的取值范围是。                                                                                  

（1）∵，，故，………………1分

令得；令得。 ………………3分

所以的单调递增区间为；单调递减区间为，………………4分

（2）由变形得：，……………5分

令函数，则在上单调递增，……………6分

即在上恒成立，………………7分

而（当且仅当时取“=”）

所以，…………………9分

（3）证明：不妨设，由得：

其中，故上式的符号由因式“”的符号确定。

令，则函数。

，其中，得，故。即在上单调递减，且。所以。

从而有成立。

该不等式能更进一步推广：

已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则。

下面用数学归纳法加以证明：

i）当时，由（2）证明可知上述不等式成立；

ii）假设当时，上述不等式成立，即有：。

则当时，由得：，于是有：

。

在该不等式的两边同时乘以正数可得：。

在此不等式的两边同时加上又可得：。

该不等式的左边再利用i）的结论可得：，整理即得：。

所以，当时，上述不等式仍然成立。

综上，对上述不等式都成立，………………14分