二次函数的应用
共461题

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二次函数的应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

22．已知函数。

（1）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，求函数在上的最大值和最小值；

（3）当时，证明：对任意的正整数，不等式都成立。

正确答案

（1）由题设可得

函数在上是增函数，

当时，不等式即恒成立。

当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；

（2）当时，

当时，，于是在上单调递减；

当时，，于是在上单调递增

又

综上所述，当时，函数在上的最小值为，当时，

函数在上的最大值为

（3）当时，由（1）知在上是增函数

对于任意的正整数，有，则

即，

。

而则成立

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题型：简答题

简答题 · 14 分

19．设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．

（1）求数列通项（用m表示）；

（2）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

正确答案

（1）由已知，所以，

，所以，

解得，所以数列的公比.

（2），

因为，所以，由得，

注意到，当为奇数时，当为偶数时，

所以最大值为，最小值为.

对于任意的正整数都有，

所以，.

即所求实数的取值范围是.

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题型：填空题

填空题 · 4 分

12．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）．

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列满足．

（1）若，计算的值，并写出数列的通项公式；

（2）是否存在，使得当时，恒为常数，若存在，求出，否则说明理由；

（3）若，，求的前项的和（用表示）．

正确答案

解（1），，以此类推

时，其中．

（2）

时，．

若时，，

此时只需，

故存在．

若时，不妨设若时，

时，，

，

时，．

若，不妨设，

，

，，则．

故存在三组和：

；；

；

其中

（3），时，

，

．

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题型：单选题

单选题 · 5 分

5．在的展开式中，含项的系数是（）

A－30

B30

C70

D90

正确答案

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题型：单选题

单选题 · 5 分

8．如图，棋盘式街道中，某人从A地出发到达B地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E地的概率为（）

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限，如图．

（1）求切点的纵坐标；

（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线的斜率分别为，若，求椭圆方程．

正确答案

（1）设切点，且，ks**5u

由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，

，即点的纵坐标．

（2）由(Ⅰ) 得，切线斜率，

设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，

由，

，

将，代入得：，所以，

椭圆方程为．

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题型：单选题

单选题 · 5 分

7．若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）

A正三角形

B直角三角形

C等腰三角形

D以上都不是

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 4 分

11．已知函数，则＝（）

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知函数，其中是大于0的常数

（1）求函数的定义域；

（2）当时，求函数在[2，上的最小值；

（3）若对任意恒有，试确定的取值范围。

正确答案

解：（1）由得，

解得：时，定义域为

时，定义域为且

时，定义域为或}

（2）设，当，时

则恒成立，

∴在上是增函数

∴在上的最小值为

（3）对任意恒有，

即：对恒成立

∴ ，而在上是减函数

∴，∴

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