二次函数的应用
共461题

· 二次函数的应用

二次函数的应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

设的值为。

正确答案

解析

设，则，，所以

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点，若，求的度数。

正确答案

见解析。

解析

由圆与边相切于点，得，

因为，得，所以，，，四点共圆，

所以，

又，

所以，

由，得。

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

在数列中，，，且（≥2）。

（1）求，，猜想的表达式，并且加以证明；

（2）设，求证：对任意的自然数，都有…＜。

正确答案

见解析

解析

（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：

（i）显然当时，结论成立，-----------------（3分）

（ii）假设当；时（也可以），结论也成立，即

，--------------------------（4分）

那么当时，由题设与归纳假设可知：

------------（6分）

即当时，结论也成立，综上，对,成立。--------（7分）

（2）---（9分）

所以

-----------------------（11分）

所以只需要证明

（显然成立）

所以对任意的自然数，都有-------（14分）

知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

已经矩阵M＝。

（1）求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；

（2）求M的特征值与特征向量。

正确答案

见解析

解析

（1）因为M＝，设直线上任意一点在作用下对应点，则＝，

即，所以，代入，得，即，

所以所求曲线的方程为，

（2）矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，

所以M的特征值为λ1＝4，λ2＝5。

当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；

当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为。

正确答案

解析

,即，所以，为偶函数，图象关于轴对称，所以排除A,B.当，得或，即函数过原点，所以选C.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知均为正数,证明：。

正确答案

见解析。

解析

证法一：因为均为正数，由均值不等式得，

，

所以，

故，

又3，

所以原不等式成立，

证法二：因为均为正数，由基本不等式得

，，。

所以，

同理，

故。

所以原不等式成立。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

若实数x、y、z满足x2+y2+z2=2，则xy+yz+zx的取值范围是

A[-1，2]

B[1，2]

C[-1，1]

D[-2，2]

正确答案

解析

∵xy+yz+zx≤x2+y2+z2=2，x=y=z，时等号成立；2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-( x2+y2+z2)≥-2，x+y+z=0时等号成立。∴-1≤xy+yz+zx≤2.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列为等比数列, 其前项和为, 已知, 且对于任意的有, , 成等差；

（1）求数列的通项公式；

（2）已知（）, 记, 若对于恒成立, 求实数的范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

（2）,

-------------8分

---------12分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

若一元二次不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}，则f(2x)<0的解集为

A{x| x<-2或x>0}

B{x| x<0或x>2}

C{x|x>0}

D{x|x<0}

正确答案

解析

f(2x)<02x>1x>0.

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖，已知硬币的直径为，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为(单位：)

正确答案

解析

设方格边长为，则

知识点

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