热门试卷

证明：由得，

令，则，

当时，，在上为增函数；

当x＞0时，，在上为减函数，

所以在x=0处取得极大值，且，

故（当且仅当时取等号），

所以函数为上的减函数，

则，即的最大值为0

（1）因为f'（x）=﹣+=，

①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，

②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，

当0＜x＜a时，f'（x）＜0；当x＞a时，f'（x）＞0。

所以（0，a）为单调减区间，（a，+∞）为单调增区间。

综上可得，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，

当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调增区间为（a，+∞），

（2）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=，

∴h'（x）=bx﹣2+=，…（5分）

h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根，

由h'（x）=0得bx2﹣2x+1=0，…（6分）

（ i）b=0，x=，满足题意；…（7分）

（ ii）b＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；

（ iii）b＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；

综上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1. 

（3）证明：由（1）可知：

（ i）若a≤0，则f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，

所以直线l与y=F（x）的图象不可能有两个切点，不合题意

（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a处取得极值f（a）=1+lna。

若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点，

故0＜a＜，设f（x）图象与x轴的两个切点的横坐标为s，t（不妨设s＜t），

则直线l与y=F（x）的图象有两个切点即为直线l与

和的切点。

y1'=﹣=，y2'=﹣+=，

设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜x2，且

==﹣﹣，==+，=，

即=1﹣lnx1…①；=1﹣lnx2…②；a=，③

①﹣②得：﹣=﹣lnx1+lnx2=﹣ln，

由③中的a代入上式可得：（﹣）•，

即，

令=k（0＜k＜1），则（k2+1）lnk=2k2﹣2，令G（k）=（k2+1）lnk﹣2k2+2，（0＜k＜1），

因为=1﹣＞0，=﹣＜0，

故存在k0∈（0，1），使得G（k0）=0，

即存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点，

因为，所以，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

，当且仅当时等号成立；

三个不等式相加得，

当且仅当时等号成立。