二次函数的应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

17.求；

18.求数列的前1 000项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），，；

解析

试题分析：本题属于数列与函数的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得

所以的通项公式为

考查方向

本题考查了等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差，从而求得通项，再根据已知条件表示不超过的最大整数，求；

易错点

对取整函数的性质不熟悉导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1893.

解析

试题分析：本题属于数列与函数的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

⑵记的前项和为，则

．

当时，；

当时，．

∴．

考查方向

本题考查了等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算等知识点。

解题思路

（Ⅱ）对分类讨论，再用分段函数表示，再求数列的前1 000项和．

易错点

对取整函数的性质不熟悉导致出错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.设函数.

①若，则的最大值为______________；

②若无最大值，则实数的取值范围是________.

正确答案

，.

解析

如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，

①当时，，因此的最大值是；

②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．

考查方向

1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.

解题思路

1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．

易错点

1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．

2)一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性

知识点

二次函数的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，，∴，，

，∴，故选B.

考查方向

本题主要考查了向量数量积的运算，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与向量数量积的运算、性质等知识点交汇命题。

解题思路

研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.本题首先选好基底，然后用向量的记法及数量积德运算法则进行计算即可求出的值.

易错点

不能熟知向量数量积的运算公式导致出错。

知识点

二次函数的应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.正偶数按下列方法分组:{2},{4,6,8},{10,12,14,16,18},{20,22,24,26,28,30,32},…,记第n组中各数之和为An,则An=________.

正确答案

4n3-6n2+6n-2

解析

观察每一组的中间项,记a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,…,

又a2-a1=4,a3-a2=4×2,a4-a3=4×3,…,an-an-1=4×(n-1),

叠加得an-a1=4×[1+2+3+…+(n-1)],

所以an=2+4×=2n2-2n+2.

所以An=(2n-1)an=(2n-1)(2n2-2n+2)=4n3-6n2+6n-2

知识点

二次函数的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1.已知平面向量a=（1,2）,b=（-2,m）,且a b,则m的值为（　　）.

A-1

B1

C-4

D4

正确答案

C

解析

由a b,得1·m=2×(-2),解得m=-4.

知识点

二次函数的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.满足线性约束条件的目标函数z=x+y的最大值是（）

A1

B

C2

D3

正确答案

C

解析

当直线z=x+y过点B(1,1)时,

z取得最大值为2.

知识点

二次函数的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称相异两点A、B,则|AB|等于（　　）.

A3

B4

C3

D4

正确答案

C

解析

设A(m,n).则B(-n,-m),把两点代入抛物线方程得解得∴A(1,2),B(-2,-1),即==3

知识点

二次函数的应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8.已知a=(sinx，1)，b=(1，cosx),且函数f(x)=a·b，f'(x)是f(x)的导函数，则函数F(x)=f(x)f'(x)+f2(x)的最大值____________.

正确答案

解析

∵ f(x)=sin x+cos x,

∴ f'(x)=cos x-sin x,

∴ F(x)=f(x)f'(x)+f2(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x=1+sin 2x+cos 2x=,

∴ 当 ,

即时,

F(x)max=.

知识点

二次函数的应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.若{an}是公比为2,首项为4的等比数列,则数列{log2an}的前n项和为________.

正确答案

解析

∵an=2n+1,∴log2an=n+1,故其前n项和为2+3+4+…+n+1=

知识点

二次函数的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知.

23.讨论的单调性；

24.当时，证明对于任意的成立

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增；

当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

解析

（Ⅰ）的定义域为；

.

当，时，，单调递增；

，单调递减.

当时，.

（1），，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

（2）时，，在内，，单调递增；

（3）时，，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减.

综上所述，

当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，在内单调递增；

当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

考查方向

本题考查利用导函数判断单调性；构造法证明不等式恒成立问题、由参数变化引起的分类讨论，难度较高。

解题思路

对a进行分类讨论，求函数的单调性；

易错点

在 (a，b)内的可导函数f(x)，若f′(x)>0，则f(x)是增函数；若 f′(x)<0，则f(x)是减函数；在x0的左右侧，若f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，

，，

令，则，

由可得当且仅当时取等号；

又，设，则在上单调递减，

且，

所以在上存在使得时，时，，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

由于，因此当且仅当取等号，

所以，即对于任意的恒成立。

解析

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，

，，

令，则，

由可得当且仅当时取等号；

又，设，则在上单调递减，

且，

所以在上存在使得时，时，，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

由于，因此当且仅当取等号，

所以，即对于任意的恒成立。

考查方向

本题考查利用导函数判断单调性；构造法证明不等式恒成立问题、由参数变化引起的分类讨论，难度较高。

解题思路

要证对于任意的成立，即证 ,根据单调性求解;

易错点

在 (a，b)内的可导函数f(x)，若f′(x)>0，则f(x)是增函数；若 f′(x)<0，则f(x)是减函数；在x0的左右侧，若f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值。

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