- 二次函数的应用
- 共461题
已知函数的最小正周期为
。
(1)求的值及函数
的最大值和最小值;
(2)求函数的单调递增区间。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)
。
因为,
,所以
。
因为,
,
所以。
所以函数的最大值为1,最小值为-1。 ……………………8分
(2)令,
得,
所以。
所以函数的单调递增区间为
,
,……………………13分
知识点
已知函数
(1)若求
的值;
(2)求函数的单调区间。
正确答案
见解析。
解析
(1)
由可得
所以
.
(2)当
即时,
单调递增。
所以,函数的单调增区间是
知识点
某花店每天以每枝10元的价格从农场购进若干支玫瑰花,并开始以每枝20元的价格出售,已知该花店的营业时间为8小时,若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完,则花店对没卖出的玫瑰花以每枝5元的价格低价处理完毕(根据经验,1小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再购进玫瑰花),该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量(单位:枝,
)(由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清),制成如下表格(注:
;视频率为概率)。
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求
的分布列及数学期望;
(2)若花店每天购进16枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进17枝玫瑰花所获得的平均利润大,求的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,
元,
当时,
元,
当或17时,
元,
所以的分布列为
元,
(2)设花店每天购进17枝玫瑰花时,当天的利润为元,则
当时,
元,
当时,
元,
当时,
元,
当时,
元,
所以
由于,所以
,解得
,
又,所以
,
,
知识点
函数若不等式f(x)≥6的解集为(—∞,-2]
[4,+∞),则实数a的值为 。
正确答案
3
解析
解析:不等式f(x)≥6的解集为(—∞,-2]
[4,+∞)
时,
=6都成立,
将代入,得
或
,
将代入,得
或
,
故答案为:3
知识点
构造如题(22)图所示的数表,规则如下:先排两个l作为第一层,然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a倍得下一层,其中a∈(),设第n层中有an个数,这an个数的和为
。
(1)求an;
(2)证明:
正确答案
见解析。
解析
(1),则
得
(2)先求,同(1),
,
令,则
,
下证为单调增数列:只需证
所以
又对于正数,由二项式定理
所以
又因为,所以
所以
知识点
已知函数f(x)=2sinxcosx﹣2cos2x(x∈R)。
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当时,求函数f(x)的取值范围。
正确答案
(1)T=(2)
解析
(1)因为f(x)=sin2x﹣cos2x﹣1=。
所以,(7分)
(2)
当时,
,
所以当,
,
当,f(x)min=﹣2。
所以f(x)的取值范围是,(13分)
知识点
2008年5月12日,四川汶川发生8.0级特大地震,通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚,抗震救灾指挥部决定从水路(一支队伍)、陆路(东南和西北两个方向各一支队伍)和空中(一支队伍)同时向灾区挺进,在5月13日,仍时有较强余震发生,天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是,从陆路每个方向抵达灾区的概率都是
,从空中抵达灾区的概率是
。
(1)求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率;
(2)求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.
正确答案
见解析
解析
(1)解法一:依据题意,因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等,则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C,且B、C相互独立,而且,
在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是
.
解法二:在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是
.
(2)依据题意,因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等,则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C,且B、C相互独立,而且.
设5月13日抵达灾区的队伍数为,则
=0、1、2、3、4.
由已知有:;
;
;
;
.
因此其概率分布为:
所以在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望为:
=0×
+ 1×
+ 2×
+ 3×
+ 4×
=
.
答:在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望
=
.
知识点
已知函数,
,
,那么下面命题中真命题的序号是( )
①的最大值为
②
的最小值为
③在
上是增函数 ④
在
上是增函数
正确答案
解析
因为,
,所以
。函数的导数为
,由
,解得
,又因为
,所以
,此时函数单调递增,由
,解得
,又因为
,所以
,此时函数单调递减,所以①③正确,选A.
知识点
设函数为实数)。
(1)若为偶函数,求实数a的值;
(2)设,求函数
的最小值。
正确答案
(1)a=0(2)a-1
解析
(1)函数
是偶函数,
,即
,解得
;………………………………… 3分
(2)
=
,………………………………………………… 5分
当时,
,
由,得
,
故在
时单调递增,
的最小值为
;……………………… 8分
当
,
,
故当时,
单调递增,当
时,
单调递减,
则的最小值为
;……………………………………………………… 11分
由于,故
的最小值为
. ………………………… 12分
知识点
如图,是的⊙
直径,
与⊙
相切于
,
为线段
上一点,连接
、
分别交⊙于
、
两点,连接
交
于点
.
(1)求证:、
、
、
四点共圆.
(2)若为
的三等分点且靠近
,
,
,求线段
的长.
正确答案
见解析
解析
(1)连接,则
,
,
所以,所以
,所以
四点共圆.
(2)因为,则
,又
为
三等分,所以
,
,
又因为,所以
,
知识点
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