- 由an与Sn的关系求通项an
- 共102题
已知等差数列的通项公式为
,则
的展开式中
项的系数是数列
中的第 项。
正确答案
20
解析
略
知识点
已知数列的前
项和为
,对一切正整数
,点
都在函数
的图像上,且过点
的切线的斜率为
。
(1)求数列的通项公式, (2)若
,求数列
的前
项和
。
(3)设,等差数列
的任一项
,其中
是
中的最小数,
,求
的通项公式。
正确答案
见解析。
解析
(1)
点
都在函数
的图像上,
,
当时,
当时,
满足上式,所以数列
的通项公式为
(2)由求导可得
过点
的切线的斜率为
,
.
.
① 由①×4,得
②
①-②得:
(3),
.
又,其中
是
中的最小数,
.
是公差是4的倍数,
.
又,
,解得
,所以
,
设等差数列的公差为,则
,所以
的通项公式为
知识点
设数列的前
项和为
,对于
满足:
,且
是
和
的等差中项。
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数有,
.
正确答案
见解析。
解析
(1)是
和
的等差中项
对于上式,令,则
或
,
又(舍),故
.
(2)易知:①,
②,
,
上述两式作差并化简得:,
又,
,
即数列为等差数列,公差为
,由
,可知
,
即数列的通项公式为
,
.
(3),即
,
于是,即对一切正整数
有,
,证毕.
知识点
设等比数列的前
项和为
,已知
(
)
(1)求数列的通项公式;
(2)在与
之间插入
个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列。
求证:(
)。
正确答案
见解析。
解析
(1)设等比数列的首项为
,公比为
,
,
(
)
=
即(
)
当,得
,即
,解得:
即.
(2)①,则
,
设① 则
②
① -②得:2+
=+
知识点
设等差数列的前
项和为
,若
,
,则
()
正确答案
解析
略
知识点
已知等差数列的首项为10,公差为2,等比数列
的首项为1,公比为2,
。
(1)求数列与
的通项公式;
(2)设第个正方形的边长为
,求前
个正方形的面积之和
。
(注:表示
与
的最小值,)
正确答案
见解析。
解析
(1)因为等差数列的首项为10,公差为2,
所以,
即。
因为等比数列的首项为1,公比为2,
所以,
即。
(2)因为,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
。
易知当时,
。
下面证明当时,不等式
成立。
方法1:①当时,
,不等式显然成立。
②假设当时,不等式成立,即
。
则有。
这说明当时,不等式也成立。
综合①②可知,不等式对的所有整数都成立。
所以当时,
。
方法2:因为当时
,
所以当时,
。
所以
则
当时,
。
当时,
。
综上可知,
知识点
已知Sn是数列的前n项和,且
,
.
(1)求的值;
(2)求数列的通项
;
(3)设数列满足
,求证:当
时有
.
正确答案
见解析。
解析
(1)由得
,
,
由得
(2)当时,由
① ,得
②
①-②得,化简得
,
∴(
).
∴,
,……,
以上()个式子相乘得
(
)
又,∴
(3)∵,
,
,
∴是单调递增数列,故要证:当
时,
,只需证
.
(i)当时 ,
,显然成立;
(ii)当时,
∵,
,
∴,∴
.
∴
∴.
综上,当时有
.
知识点
阅读:
应用上述解法,求解下列问题:
(1)已知,
,求
的最小值;
(2)已知,求函数
的最小值;
(3)已知正数、
、
,
,
求证:.
正确答案
见解析
解析
(1),
而,
当且仅当时取到等号,则
,即
的最小值为
.
(2),
而,
,
当且仅当,即
时取到等号,则
,
所以函数的最小值为
.
(3)
当且仅当时取到等号,则
.
知识点
已知正项数列中,其前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设是数列
的前
项和,
是数列
的前
项和,求证:
.
正确答案
见解析。
解析
(1)法一:由得
当时,
,且
,故
当时,
,故
,得
,
∵正项数列,
∴
∴是首项为
,公差为
的等差数列。
∴ ,
∴ .
法二:
当时,
,且
,故
由得
,
当时,
∴ ,
整理得
∵正项数列,
,
∴ ,
∴是以
为首项,
为公差的等差数列,
∴ .
(2)证明:先证:
.
故只需证,
因为[]2
所以
所以
当取
得到
不等式,
相加得:
即:
知识点
设是等差数列,若
则数列
前8项和为( )
正确答案
解析
略
知识点
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