由an与Sn的关系求通项an
共102题

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由an与Sn的关系求通项an
共102题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

在数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）。

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

(1) 解法一：由得，

由上式结合得，

则当时，， -

---

，

∵，∴，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列

∴，∴.-

【解法二：由得，

由上式结合得，

则当时，，--

， -

∴，

∵，∴，-

∴.-

(2) 由得，-

【或】

∴----

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.

（1）求数列的通项公式（用表示）；

（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数）.

正确答案

见解析。

解析

（1）设数列的公差为，

由已知得，，成等比数列，

∴ ，且

得或

∵ 已知为公差不为零

∴ ，

∴ .

（2）由（1）知 ∴

而等比数列的公比.

∴

因此，

∵

∴

∵当时，

∴ （或用数学归纳法证明此不等式）

∴

∴当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立。

法二∵当时，

∴ （或用数学归纳法证明此不等式）

∴

∴当时，，不等式成立；

当时，，不等式成立；

当时，

综上得不等式成立。

(法三)　利用二项式定理或数学归纳法可得：

所以，时，，

时，　综上得不等式成立。

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：单选题

单选题 · 5 分

设是等差数列的前项和，已知，，则（）

A13

B35

C49

D63

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：单选题

单选题 · 5 分

在数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列的前项和为，且满足，则=_________；数列的前项和为_____________。

正确答案

；

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an其它方法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知正项数列的前n项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列与的前n项和为，求证：。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知递增的等差数列满足，，则________。

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，满足，，且成等差数列。

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有。

正确答案

见解析。

解析

（1）在中

令得：

解得：，

又

解得

（2）由

得

又也满足

所以成立

∴

（3）

（法一）∵

∴

（法二）∵

∴

当时，

………

累乘得：

∴

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列{}的前n项和，数列{}满足，且。

（1）求，；

（2）设为数列{}的前n项和，求，并求满足<7时n的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合

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