- 由an与Sn的关系求通项an
- 共102题
设数列的前
项和为
,数列
的前
项和为
,且满足
,
。(1)求
的值;(2)求数列
的通项公式;(3)记
,
,求证:
。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
,因为
,所以
,解得
(2)当时,
所以 ①分,所以
②,由②-①得,
…
所以数列是以
为首项,
为公比的等比数列,所以
(3)当时,
,当
时,
…
所以
知识点
设,对于项数为
的有穷数列
,令
为
中的最大值,称数列
为
的“创新数列”,例如数列
3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数
的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列
。
(1)若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列
;
(2)是否存在数列的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列
的个数;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列有6个,
3,5,1,2,4;……………2分
3,5,1,4,2;
3,5,2,1,4;
3,5,2,4,1;
3,5,4,1,2;
3,5,4,2,1;………………4分
(2)
知识点
已知各项为正的数列的前
项和为
,且对任意正整数
,有
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)若数列的前
项和为
,求
的最大值。
正确答案
见解析。
解析
解:
知识点
已知数列是首项为
,公差为
的等差数列,若数列
是等比数列,则其公比为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知数列的前n项和为
,且满足
,
.
(1)求数列的通项公式
;
(2)设为数列{
}的前n项和,求
;
(3)设,证明:
.
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,当时,有
,
两式相减得 即
.
由,得
.
所以对一切正整数n,有,
故,即
.
(2)由(1),得,
所以 ①
①两边同乘以,得
②
①-②,得,
所以,
故.
(3)由(1),得
.
知识点
从中这
个数中取
(
,
)个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为
。
(1)当时,写出所有可能的递增等差数列及
的值;
(2)求;
(3)求证:。
正确答案
见解析
解析
(1)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.
所以. …………… 3分
(2)设满足条件的一个等差数列首项为,公差为
,
.
,
,
的可能取值为
。
对于给定的,
, 当
分别取
时,可得递增等差数列
个(如:
时,
,当
分别取
时,可得递增等差数列91个:
;
;
;
,其它同理).
所以当取
时,可得符合要求的等差数列的个数为:
。…………… 8分
(3)设等差数列首项为,公差为
,
,
,
记的整数部分是
,则
,即
。
的可能取值为
,
对于给定的,
,当
分别取
时,可得递增等差数列
个.
所以当取
时,得符合要求的等差数列的个数
易证。
又因为,
,
所以。
所以
。
即。 …………… 13分
知识点
已知数列的前
项和
,
。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,是否存在
(
),使得
、
、
成等比数列,若存在,求出所有符合条件的
值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列成等差数列.
(1)的通项公式;
(2)数列.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列中,
,
,
。
(1)设,证明:数列
是等比数列;
(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;
(3)若且
,求证:使得
,
,
成等差数列的点列
在某一条直线上。
正确答案
见解析
解析
(1)将已知条件转化为
当时,
,则
(常数)
------------------3分
所以数列是以
为首项,公比为
的等比数列,
-----------------4分
(2)由(1)知,即
(
)
-----------------1分
假设在数列中存在连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为
,
,
(
,
),由题意得,
,
将,
,
代入上
式得
化简得,,即
,得
,解得
所以,存在满足条件的连续三项为,
,
成等差数列 ------------------4分
(3)若,
,
成等差数列,则
,即
,
得,即
------------------2分
由于若,
且
,下面对
,
进行讨论:
① 若,
均为偶数,则
,解得
,与
矛盾,舍去;
② 若为奇数,
为偶数,则
,解得
;
③ 若为偶数,
为奇数,则
,解得
,与
矛盾,
舍去;
④ 若,
均为奇数,则
,解得
,与
矛盾,舍去;
综上①②③④可知,只有当为奇数,
为偶数时,
,
,
成等差数列,此
时满足条件点列落在直线
(其中
为正奇数)上。
------------------5分
知识点
正项数列的前
项和为
满足:
。
(1)求数列的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
,证明:对于任意的
,都有
。
正确答案
见解析
解析
(1),
,解得
当时,
;
当时,
(
不适合),所以
(2)当时,
,
;
当时,
,
综上,对于任意的,都有
。
知识点
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