热门试卷

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解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时 ，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数,   ∴必是的因数,  ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

试题分析：本题属于数列求通项公式和数列求和的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）确定数列的首项和公比.（2）将两个数列分别求和之后再相加．（3）正项等比数列取对数以后的数列为等差数列.

（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得,而当时，，故，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故，数列的前项和

（1）由已知，有，

即.

从而，.

又因为是的等差中项，即.解得.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.故.

（2）由（1）得，所以，

两式相减

.

因为-=,所以数列递减

即,从而

试题分析：此题是结合等差（比）数列，给出新定义的创新试题，难度较大。在解题中要充分利用新定义的性质，合理推理，得出结论。

（1）①由an+1＝2an－1，得an+1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，

所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

所以an－1=2n-1．

所以，数列{an}的通项公式为a n＝2n-1+1．

②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：

假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．

因为an＝2n-1+1，所以am＜an＜ak．

所以an2＝am·ak，得 (2n-1+1)2＝(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1．

又m＜n＜k，m，n，k∈N*，

所以2n－m－1≥1，n－m+1≥1，k－1≥1，k－m≥1．

所以22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+1－2k-1－2k-m＝1矛盾．

所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．

综上可得，数列{an}不是“等比源数列”．

（2）不妨设等差数列{an}的公差d≥0．

当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．

当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项am＞0．

为了使得{an}为“等比源数列”，

只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得an2＝amak成立，

即[am+(n－m)d]2＝am[am+(k－m)d]，即(n－m)［2am+(n－m)d］＝am(k－m)成立．

当n＝am+m，k＝2am+amd+m时，上式成立．所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．

所以，数列{an}为“等比源数列”．