由an与Sn的关系求通项an_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设数列{}的前n项和为，已知=1，，且=.

22.证明：=3

23.求S

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

当，有，

两式相减，得，即，然后验证当时，命题成立即可；

易错点

不说明当n=1的情况导致丢分；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，，所以，于是数列是首项为1，公比为3的等比数列，数列是首项是2，公比为3的等比数列，所以，

于是，从而，

综上所述，

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

通过求数列的奇数项和偶数项的和即可得到其对应的前n项和的通项公式。

易错点

不会分类求和，或不知道该如何求和。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设数列{}的前n项和为，已知=1，，且=.

22.证明：=3

23.求S

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

当，有，

两式相减，得，即，然后验证当时，命题成立即可；

易错点

不说明当n=1的情况导致丢分；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，，所以，于是数列是首项为1，公比为3的等比数列，数列是首项是2，公比为3的等比数列，所以，

于是，从而，

综上所述，

考查方向

本题主要考察数列递推关系，数列求和等知识，意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

通过求数列的奇数项和偶数项的和即可得到其对应的前n项和的通项公式。

易错点

不会分类求和，或不知道该如何求和。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且.

17.求数列的通项公式；

18.设，求使对任意恒成立的实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

时，时，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（）

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等比数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而证明不等式

易错点

求数列通项公式错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

对恒成立，即对恒成立

设，则当或时，取得最小值为

.

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等比数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而证明不等式

易错点

求数列通项公式错误

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知正项数列的前项和满足：，（）.

20. 求；

21. 若，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

1．

解析

试题分析：本题属于数列知识的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：因为，

所以当时，，两式相减得，，化简得，，由于是正项数列，所以，

所以，即对任意都有，又由得，，解得或（舍去），所以是首项为3，公差为2的等差数列，

所以.

考查方向

本题考查了数列的通项公式、数列求和等知识点。

解题思路

直接利用的关系即可求出通项公式；

易错点

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于数列知识的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由已知及（Ⅰ）知，，， ①

， ②

②-①得，

.

考查方向

本题考查了数列的通项公式、数列求和等知识点。

解题思路

先求出，再利用错位相减法求和．

易错点

正确答案

解析

因为，，即化简可得，

即有，可知该数列是首项为1，公差为2的等差数列所以

即，所以

考查方向

等差数列的性质；等比数列的性质；数列求和

解题思路

由数列的通项和前n项和的关系，结合条件化简整理，再根据等差数列的定义和通项，即可得到Sn,进而求出答案

易错点

找不到通项与前n项和的关系，计算错误

知识点

由an与Sn的关系求通项an

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn ＋pn(p为常数，p≠0)．

25.求p的值；

26.求数列{an}的通项公式；

27.设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn．

若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）p＝－；

解析

解：（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝．

由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2．

又p≠0，所以p＝－．

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

本题考查数列求通项、求和，解题步骤如下：

（1）令n=1，n=2，可得p的方程，由p不为0，可得p的值；

易错点

错位相减法容易计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）p＝－；（2）an＝

解析

（2）由an＝(－1)nSn＋(－)n，得

①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋

当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1，

所以an＝－．

当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋，

所以an＝－2an＋1＋

所以an＝

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

本题考查数列求通项、求和，解题步骤如下：

（2）讨论n为偶数，或奇数，将n换为n-1，两式相加可得所求通项公式；

易错点

错位相减法容易计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（3）An＝，由于b1≠c1，则b1 与c1一正一负，

不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－．

则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥．

设S＝，则

两式相减得×＜．

所以S＜，所以Pn≥．

因为Qn= c1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n≤＜0，

所以Pn≠Qn．

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，

解题思路

（3）求得An={a2n-1，a2n}= An＝，讨论bn，cn的情况，运用错位相减法求和，即可得证

易错点

错位相减法容易计算错误

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20. 在数列中，，，其中，.

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；

（Ⅲ）当时，证明：存在，使得.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ），，.

（Ⅱ）成等差数列，

，

即，

，即.

，.

将，代入上式，解得.

经检验，此时的公差不为0.

存在，使构成公差不为0的等差数列.

（Ⅲ） ,

又，令.

由，

，

……

，

将上述不等式相加，得，即.

取正整数，就有.

考查方向

等差数列；利用不等式证明数列不等式

解题思路

根据数列的定义，证明存在够成功公差不为0的等差数列，将不等式逐一相加，可证明结论。

易错点

想不到利用不等式叠加的性质计算

知识点

由an与Sn的关系求通项an

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.数列满足.数列满足，则中的最大项的值是 .

正确答案

解析

由题意可知，，所以，所以，通过观察可得，当n=3，时，bn有最大值，最大值为

考查方向

数列的通项；数列的最大值最小值

解题思路

先求出an的通项公式，再判断bn中函数的值。

易错点

通过an求bn的通项时错误

知识点

由an与Sn的关系求通项an

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

正确答案

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：．

正确答案

证明，（Ⅰ）因为，

当时，，

两式相减，得，

即，

所以当时，．

所以．

因为，所以．

（Ⅱ）因为，，，

所以．

所以

．

因为，所以．

因为在上是单调递减函数，

所以在上是单调递增函数．

所以当时，取最小值．

所以．

解析

本题属于数列应用中的基本问题，两问难度相当，（I）直接按照步骤来求（II）要裂项相消求和即可．

考查方向

本题考查了数列的相关知识点：

1、利用递推公式推导通项公式；

2、数列中的关系；

3、利用递推公式求解通项公式要单独把n=1拿出来验证；

4、数列中常用的求和方法----裂项法。

解题思路

易错点

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路