- 动量守恒定律的应用
- 共308题
环状空心的细金属管道质量为M，不计一切摩擦。
（1）将管道竖直固定，管内底部有一可视为质点的小球（如图甲），若小球初速度为v0，小球恰能通过最高点，此时球受到管道壁的弹力大小为Mg/2，小球的质量大小为多少？环的半径R为多少（与环的半径相比，管的粗细可不计）？
（2）现将管道水平放置在光滑水平面上，管直径两端A、B处有两个与第一问完全相同的小球（如图乙），初速度仍均为v0，当两球相遇时，小球速度大小为多少？
（3）紧接上问，若两球发生完全弹性碰撞，则当两小球分别回到AB处时，管道的速度大小为多少？
正确答案
解：（1）恰能过量高点N=mg
由题知：N=Mg/2
由机械能守恒定律知
（2）沿运动方向动量守恒
由动量守恒，得
（3）两球分别回到AB处时管道的速度为
由能量守恒，得
由动量守恒，得：
解得
某机械打桩机原理可简化为如图所示，直角固定杆光滑，杆上套有mA=55kg和mB=80kg两滑块，两滑块用无弹性的轻绳相连，绳长为5m，开始在外力作用下将A滑块向右拉到与水平夹角为37°时静止释放，B滑块随即向下运动带动A滑块向左运动，当运动到绳子与竖直方向夹角为37°时，B滑块（重锤）撞击正下方的桩头C，桩头C的质量mC=200kg。碰撞时间极短，碰后A滑块由缓冲减速装置让其立即静止，B滑块反弹上升h1=0.05m，C桩头朝下运动h2=0.2m静止。取g=10m/s2。求：
（1）滑块B碰前的速度；
（2）泥土对桩头C的平均阻力。
正确答案
解：（1）设碰前A的速度为vA，B的速度为vB，由系统机械能守恒定律：
物体A和物体B沿绳的分速度相等：
联立以上两式得：
（2）B与C碰撞动量守恒：
B碰后竖直上抛：
联立以上两式得：
对C用动能定理：
所以
如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4 m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
正确答案
解：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则
由②③式，得F=2N ④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
由⑤⑥式，得v2=2m/s ⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V'。由系统水平方向的动量守恒，得
将⑧式两边同乘以
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔
又
由⑩
火车车厢之间由车钩连接，火车起动前车钩间都有间隙。不妨将火车的起动简化成如图所示的情景：在光滑水平面上有19个静止的质量均为m的木箱，自右向左编号依次为0、1、2、3、……18，相邻木箱之间由完全非弹性的钩子连接，当钩子前后两部分相碰时，与钩子相连的两木箱速度立即变为相等。所有木箱均静止时，每一个车钩前后两部分间的距离都为L。
（1）若只给第0号木箱一个水平向右的初速度υ0，求第18号木箱刚运动时速度的大小；
（2）若从某时刻开始，持续对第0号木箱施加向右的水平恒力F，使木箱从静止开始运动，求
（i）第1号木箱刚运动时速度的大小；
（ii）从施加恒力F到第18号木箱开始运动经历的时间。
正确答案
解：（1）19个木箱相互作用过程满足动量守恒定律，即mυ0=19mυ18
得第18号木箱刚运动时速度的大小υ18=
（2）（i）若给第0号木箱施加恒定的水平拉力F，第0、1号木箱相互作用前，第0号木箱做匀加速直线运动，加速度大小为a0=
因为υ0′2=2a0L
得第0、1号木箱相互作用前瞬间第0号木箱的速度υ0′
第0、1号木箱相互作用过程满足动量守恒定律，即mυ0′=2mυ1
解得第1号木箱刚运动时速度的大小υ1=
（ii）第1号木箱刚运动时速度的大小(2υ1)2=
第1号木箱与第2号木箱作用前的速度υ1′，有υ1′2－υ12=2a1L
又第1号木箱的加速度大小a1=
第1、2号木箱相互作用过程满足动量守恒定律，2mυ1′=3mυ2
得第2号木箱刚运动时速度的大小υ2满足(3υ2)2=(2υ1)2+
同理得第3号木箱刚运动时速度的大小υ3满足(4υ3)2=(3υ2)2+
……
第18号木箱刚运动时速度的大小υ18满足(19υ18)2=(18υ17)2+
累加可得第18号木箱刚运动时速度的大小
对所有木箱，根据动量定理得Ft=19mυ18
得所求时间
如图所示，一质量为0.99kg的木块静止在水平轨道AB的B端，水平轨道与半径为10m的光滑弧形轨道BC相切。现有一质量为10g的子弹以500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出。已知木块与水平轨道的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10m/s2。求：
（1）子弹射入木块与木块获得的共同速率；
（2）子弹射入后与木块在圆弧轨道上升的最大高度；
（3）从木块返回B点到静止在水平面上，摩擦阻力的冲量的大小。
正确答案
解：（1）设子弹射入木块与木块获得的共同速度为v，子弹射入木块前后系统动量守恒
（2）设木块上升最大高度为h，子弹与木块在光滑弧形轨道BC上运动，到达最高点的过程中系统机械能守恒
（3）木块返回B点进入水平轨道上作匀减速运动最终静止，摩擦力的冲量为I，由牛顿第二定律、匀变速运动规律得
I=5N·S
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