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题型:简答题
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简答题

已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(-x)+f(x)≤2|x|的解集为C,

(Ⅰ)求集合C;

(Ⅱ)若方程f(ax)-ax+1=5(a>0,a≠1)在C上有解,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且,求实数t的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)f(x)+f(-x)=2x2

当x ≥0时,

当x<0时,

∴集合C=[-1 ,1] 。

(Ⅱ)

令ax=u,

则方程为h(u)=u2-(a-1)u-5=0,h(0)=-5,

当a>1时,,h(u)=0在上有解,

当0<a<1时,,g(u)=0在上有解,

∴当或a≥5时,方程在C上有解,且有唯一解。

(Ⅲ),g′(x)=3x2-3t,

①当t≤0时,g′(x)≥0,函数在x∈[0,1]单调递增,

∴函数g(x)的值域

,解得,即

②当t ≥1,g′(x )≤0 ,函数g(x)在区间[0,1] 单调递减,

又t≥1,

所以t≥4;

③当0<t<1时,令g′(x)=0得(舍去负值),

时,g′(x)>0;当时,g′(x)<0,

∴函数g(x)在单调递增,在单调递减,g(x)在达到最小值;

要使,则,无解;

综上所述:t的取值范围是

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题型:简答题
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简答题

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx。

(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值;

(3)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式。

正确答案

解:(1)∵函数f(x)过点

 ①

,函数在点处的切线方程为

 ②

由①和②解得

(2)由(1),令

解得

∴在区间

∴对于区间上任意两个自变量的值

从而t的最小值为20;

(3)∵

可得

∵当时,

,故a的最大值为

时,解得

∴a取得最大值时

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题型:简答题
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简答题

已知函数

(Ⅰ)解关于x的不等式

(Ⅱ)求由曲线围成的封闭图形的面积。

正确答案

解:(Ⅰ)∵

∴要解的不等式可化为

∴不等式的解集为

(Ⅱ)由消去y,得

解得:

∴所求图形的面积为

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题型:简答题
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简答题

已知实数a、b满足关于x的不等式|x2+x+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R恒成立。

(Ⅰ)请验证:=-2,b=-8满足题意;

(Ⅱ)求出所有满足题意的实数、b,并说明理由;

(Ⅲ)若对一切x>2均有不等式 x2+x+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)当=-2,b=-8时,对一切x∈R,

恒成立。

(Ⅱ)恒成立,

∴当x=-2或x=4时成立,此时|2x2-4x-16|=0,

,满足题意的、b的值仅此一对。

(Ⅲ)

∵x>2,

恒成立,

(当x=3时,等号成立),

∴m≤2。

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题型:填空题
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填空题

不等式组的正整数解集为(    )。

正确答案

{6,7,8}

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