- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(-x)+f(x)≤2|x|的解集为C,
(Ⅰ)求集合C;
(Ⅱ)若方程f(ax)-ax+1=5(a>0,a≠1)在C上有解,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且
,求实数t的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)f(x)+f(-x)=2x2,
当x ≥0时,;
当x<0时,;
∴集合C=[-1 ,1] 。
(Ⅱ),
令ax=u,
则方程为h(u)=u2-(a-1)u-5=0,h(0)=-5,
当a>1时,,h(u)=0在
上有解,
则;
当0<a<1时,,g(u)=0在
上有解,
则;
∴当或a≥5时,方程在C上有解,且有唯一解。
(Ⅲ),g′(x)=3x2-3t,
①当t≤0时,g′(x)≥0,函数在x∈[0,1]单调递增,
∴函数g(x)的值域,
,
∴,解得
,即
;
②当t ≥1,g′(x )≤0 ,函数g(x)在区间[0,1] 单调递减,
,
∴,
又t≥1,
所以t≥4;
③当0<t<1时,令g′(x)=0得(舍去负值),
当时,g′(x)>0;当
时,g′(x)<0,
∴函数g(x)在单调递增,在
单调递减,g(x)在
达到最小值;
要使,则
,无解;
综上所述:t的取值范围是。
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx。
(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值;
(3)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式。
正确答案
解:(1)∵函数f(x)过点
∴ ①
又,函数
在点
处的切线方程为
∴
∴ ②
由①和②解得,
,
故;
(2)由(1),令
解得
∴,
,
,
∴在区间上
,
∴对于区间上任意两个自变量的值
∴
从而t的最小值为20;
(3)∵
则
可得
∵当时,
∴,
,
∴
∴,故a的最大值为
当时,
解得
,
∴a取得最大值时。
已知函数和
,
(Ⅰ)解关于x的不等式;
(Ⅱ)求由曲线和
围成的封闭图形的面积。
正确答案
解:(Ⅰ)∵,
∴要解的不等式可化为,
∴或
或
,
∴或
,
∴不等式的解集为。
(Ⅱ)由消去y,得
,
解得:,
,
∴所求图形的面积为。
已知实数a、b满足关于x的不等式|x2+x+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R恒成立。
(Ⅰ)请验证:=-2,b=-8满足题意;
(Ⅱ)求出所有满足题意的实数、b,并说明理由;
(Ⅲ)若对一切x>2均有不等式 x2+x+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)当=-2,b=-8时,对一切x∈R,
恒成立。
(Ⅱ)恒成立,
∴当x=-2或x=4时成立,此时|2x2-4x-16|=0,
即,
得,满足题意的、b的值仅此一对。
(Ⅲ),
即,
即,
∵x>2,
∴恒成立,
(当x=3时,等号成立),
∴m≤2。
不等式组的正整数解集为( )。
正确答案
{6,7,8}
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