热门试卷

解：（Ⅰ）由题意得|x2-1|<3，即-32-1<3

解得-2

∴x的取值范围是（-2，2）；

（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）2（a+b）>0

又

则

于是

接近；

（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ

同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π

于是，函数f（x）的解析式是

函数f（x）的大致图象如下：

函数f（x）的最小正周期T=π

函数f（x）是偶函数

当时，函数f（x）取得最小值0

函数f（x）在上单调递减；

在上单调递增。

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，

变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，

显然，x=1已是该方程的根，

从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得a＜0．

（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，

①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；

②当x≠1时，（*）可变形为，令

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，

所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．

（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=

 当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，

经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，

在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]14，15上递减， 在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，

结合图形可知h（x）在，上递减， 在，上递增，

且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，

经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．

当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，

故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．

综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；

当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；

当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．

（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2

当x＜3时，原不等式化为7-2x＜2，解得x＞，∴＜x＜3

当3≤x≤4时，原不等式化为1＜2，∴3≤x≤4

当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得x＜，∴4＜x＜

综上，原不等式解集为{x|＜x＜}；（5分）

（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，

若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，

或y=a与y=1重合，∴a≤1

所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）

法二、：y=|x-3|+|x-4|=

当x≥4时，y≥1

当3≤x＜4时，y=1

当x＜3时，y＞1

综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min∴a≤1（10分）

法三、：∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，

当且仅当（x-3）（x-4）≤0时，上式取等号

∴a≤1．

（I）证明：当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；

当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7，所以-3＜f（x）＜3；

当x≥5 时，f（x）=x-2-（x-5）=3．

所以-3≤f（x）≤3．…（5分）

（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于-3≥x2-8x+15，等价于（x-4）2+2≤0，解集为∅．

当2＜x＜5时，f（x）≥x2-8x-8x+15，等价于2x-7）≥x2-8x-8x+15，即 x2-10x+22≤0，解得 5-≤x≤5+，故不等式的解集为{x|5-≤x＜5}．

当x≥5时，f（x））≥x2-8x-8x+15，等价于x2-8x+12≤0，解得2≤x≤6，

∴不等式的解集为 {x|5≤x≤6}．

综上，不等式的解集为{x|5-≤x≤6}．…（10分）