- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．
（1）若2x﹣1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近
正确答案
（1）解：若2x﹣1比3接近0，则有|2x﹣1﹣0|＜|3﹣0|，
∴|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，
解得﹣1＜x＜2，故x的取值范围为 （﹣1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，
有a2b+ab2 ＞
又因为|a2b+ab2 ﹣
=ab（a+b）﹣
=ab（a+b）﹣（a+b）（a2+b2﹣ab）
=﹣（a+b）（a﹣b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 ﹣
即a2b+ab2比a3+b3接近
已知f（x）=|x|+|x+1|，若对于
正确答案
解：∵|a+1|+|a-1|＞0，
对于
只需f（x）不小于
∵|a+1|+|a-1|≥|（a+1）+（a-1）|=|2a|＞0，
当且仅当（a+1）（a-1）≥0，即|a|≥1时取等号，
故
∴根据题意有|x|+|x+1|≥2，①
当x＜-1时，①可化为-x-x-1≥2，解得
当-1≤x＜0时，①可化为-x+x+1≥2，解得x∈
当x≥0时，①可化为x+x+1≥2，解得
综上，
已知函数
（Ⅰ）求不等式
（Ⅱ）若关于x的不等式
正确答案
解：（I ）原不等式等价于
或
解得
即不等式的解集为
（II）∵
∴
（选做题）
设函数f（x）=|2-2x|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）>6
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，试求实数a的取值范围。
正确答案
解：（1）（- ∞，-1）∪（
（2）
对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥ M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m。
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m。
正确答案
解：（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立，
即
只要M恒小于或等于
因为 |a+b|+|a-b|≥ |（a+b）+（a-b）|=2|a|，
所以
即
所以M≤2，m=2。
（2）当x＜1时，原不等式化为-（x-1）-（x-2）≤2，
解得
所以x的取值范围是
当1≤x≤2时，原不等式化为（x-1）-（x-2）≤2，
得x的取值范围是1≤x≤2
当x>2时，原不等式化为（x-1）+（x-2）≤2，
解得
所以x的取值范围是
综上所述x的取值范围是
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