- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以
（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；
当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m 即g（x）≥m对一切实数x恒成立，
则m的取值范围为（﹣∞，5]．
已知函数f（x）=|x﹣a|．
（I）若不等式f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（II）当a=2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）（t≥0）．
正确答案
解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，
所以
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
所以f（x）+t≧f（x+2t）
①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式①
解之得x＜2﹣2t或
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为
已知a和b是任意非零实数。
（1）求
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围。
正确答案
解：（1）∵
对于任意非零实数a和b恒成立
当且仅当
∴
（2）∵
故
由（1）知
实数x的取值范围即为不等式
解不等式得
（选做题）
已知函数f（x）=|3x+5|
（I） 解不等式f（x）＜x+3；
（II）关于的x不等式f（x）＜mx+3m的解集为
正确答案
解：（Ⅰ）依题意得，|3x+5|＜x+3，
∴
即
∴不等式f（x）＜x+3的解集为：（﹣2，﹣1）；
（Ⅱ）由f（x）＜mx+3m得，|3x+5|＜mx+3m，
∵f（x）＜mx+3m的解集为
∴mx+3m≤0．
∴当x≥﹣3时，m≤0；
当x＜﹣3时，m≥0．
综上所述，当x≥﹣3时，m≤0；当x＜﹣3时，m≥0．
设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|。
（1）求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围。
正确答案
解：（1）
令-x+4=4或3x=4，得x=0，
所以不等式f（x）≥4的解集是{x|x≤0或
（2）f（x）在（-∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
所以f（x）≥f（1）=3，
由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，
所以|m-2|>3，解得m＜-1或m>5，
即实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（5，+∞）。
扫码查看完整答案与解析