- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1．
即|x+1|+|x-2|≥m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R，
∴m+2≤3，m的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
解析
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（3，+∞）；
（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1．
即|x+1|+|x-2|≥m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R，
∴m+2≤3，m的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
（不等式选讲）
设函数f（x）=|x+3|-|x-4|
①解不等式f（x）＞3；
②求函数f（x）的最小值．
正确答案
解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，
故不等式的解集为{x|x＞2}． …（3分）
②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，
可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）
解析
解：①不等式f（x）＞3，即|x+3|-|x-4|＞3．而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差，数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3，
故不等式的解集为{x|x＞2}． …（3分）
②f（x）=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差，
可得函数f（x）的最小值为-7．（7分）
已知函数f（x）=
正确答案
解析
当x≤0时，|f（x）|=x2-2x，函数|f（x）|在原点处的导数值为（2x-2）|x=0=-2；
当x＞0时，函数|f（x）|=ex-1 在原点处的导数值为ex|x=0=1，
故当|f（x）|≥ax时，有-2≤a≤1，
即a的取值范围是[-2，1]，
故选：D．
已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式．
正确答案
解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．
（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，
令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．
此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．
解析
解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．
（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，
令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．
此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．
已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=
正确答案
②④
解析
解：对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F-函数．
对于②f（x）=
对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．
对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F-函数．
故答案为 ②④．
扫码查看完整答案与解析