- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
（不等式选讲）若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-∞，5]
解析
解：|x-2|+|x+3|表示数轴上的x到-3和2的距离之和，其最小值等于5，∵不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，
∴a≤5，
故答案为：（-∞，5]．
（2013•郴州校级模拟）对任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，则实数x的取值范围是______．
正确答案
解析
解：由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+（a-b）|=2|a|，
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），
故有2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．
而由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而
故2≥|x-1|+|x-2|的解集为 
故答案为 
若关于x的不等式|x+2|-|x-3|≤a有解，则a的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：令y=|x+2|-|x-3|，
∵||x+2|-|x-3||≤|x+2-（x-3）|=5，
∴-5≤|x+2|-|x-3|≤5，
则函数y=|x+2|-|x-3|的值域为[-5，5]，
若不等式|x+2|-|x-3|≤a有解，
则a≥-5
故实数a的取值范围是[-5，+∞）
故选C．
将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S=
（1）当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有
正确答案
解：（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值．
x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使S=
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1-x2≥2，则令x1′′=x1-1，x2′=x2+1，xi′=xi （i=3，4，5），有x1′+x2′=x1+x2，x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1＞x1x2．
将S改写成S=
同时有 S′=x1′x2′+（x1′+x2′）（（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5．
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2＞0．
这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．
所以必有|xi-xj|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值． …（10分）
（2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三种情形满足要求． …（15分）
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的．
根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=
所以在x1=x2=x3=402，x4=x5=400时S取到最小值．…（20分）
解析
解：（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值．
x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使S=
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1-x2≥2，则令x1′′=x1-1，x2′=x2+1，xi′=xi （i=3，4，5），有x1′+x2′=x1+x2，x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1＞x1x2．
将S改写成S=
同时有 S′=x1′x2′+（x1′+x2′）（（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5．
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2＞0．
这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．
所以必有|xi-xj|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值． …（10分）
（2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三种情形满足要求． …（15分）
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的．
根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=
所以在x1=x2=x3=402，x4=x5=400时S取到最小值．…（20分）
设对于不大于
正确答案
解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a2-
化简可得 b≤-a2+a+
由于-a2+a+
由于 a2-a+
综上可得 0＜b≤
解析
解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．
故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．
由不等式
第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，
肯定满足第二个不等式，命题成立．
故有 a2-
化简可得 b≤-a2+a+
由于-a2+a+
由于 a2-a+
综上可得 0＜b≤
扫码查看完整答案与解析