- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x＜
②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解；
③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x＞
综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞，
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．
函数f(x)=
正确答案
∵f(x)=
∴
∴
即f（x）的定义域为[-1，0）．
故答案为：[-1，0）．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
正确答案
（1）当m=4时，函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．
故有 ①
解①得 x＜-
取并集可得函数f（x）的定义域为 {x|x＜-
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即 m≤|2x+1|+|x+2|-2．
令 g(x)=|2x+1|+|x+2|-2=
∴m≤-
设函数f(x)=
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
正确答案
（I）由题设知：|x+1|+|x-2|-5≥0
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|
和y=5的图象，得定义域为（-∞，-2]∪[3，+∞）
（II）由题设知，当x∈R时，
恒有|x+1|+|x-2|+a≥0即|x+1|+|x-2|≥-a，
又由（I）|x+1|+|x-2|≥3，
∴-a≤3，
∴a≥-3．
若a＞0，使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，设a的取值集合是A；若不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），设实数b的取值集合是B，试求当x∈A∪B时，f（x）=2|x+1|-|x-1|的值域．
正确答案
|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，
∴A={a|a＞1}；
不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），
当x＞0时，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；
当x＜0时，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，
∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），说明x＜0时x无解，得b≤-1，
综上：b＜-1；B={b|b≤-1}
∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；
∵f（x）=2|x+1|-|x-1|，
当x＞1时，f（x）=2x+1-x+1，f（x）为单调增函数，f（x）＞f（1）=4；
当x≤-1时，f（x）=2-x-1+x-1，f′（x）=-
∴综上：当x＞1时，f（x）＞4；当x＜-1时，f（x）≥-1；
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