- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-
（2）若对于定义域中任意的x1，x2，存在正数ε，使|x1-1|＜
正确答案
（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在[
故fmax(x)=f(
则原不等式为|
故原不等式的解集为（-5，-3）；
（2）不妨设x1＜x2，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，
即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，
则f(x1)-f(x2 )＜x2-x1
又由函数f（x）在D上递减，则f(x1)＞f(x2 )
故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |
∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜
∴|f(x1)-f(x2 )|＜ɛ
设函数f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1为常数
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）试推断函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由．
正确答案
（1）不等式即为|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化为（x-a）2＜a2x2，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
由0＜a＜1可得，
（2）由条件得：f（x）=
∵1＞a＞0，
∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函数f（x）在（-∞，a）上是减函数，且在[a，+∞）上是增函数．
故当 x=a 时，f（x）存在最小值f（a）．
已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
正确答案
（1）函数f（x）=x|x-2|=
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3） 当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，
此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．
已知g（x）=|x-1|-|x-2|，则g（x）的值域为______；若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是______．
正确答案
由于已知g（x）=|x-1|-|x-2|，表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
则-1≤g（x）≤1，故g（x）的值域为[-1，1]．
若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则有g（x）＜a2+a+1的解集为R，
即g（x）＜a2+a+1恒成立，故有a2+a+1＞1，解得a＜-1，或a＞1．
故实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为[-1，1]、（-∞，-1）∪（1，+∞）．
设函数f（x）=|1-
正确答案
证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-
故ab-
方法二：不等式可以变为f（x）=
对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且
即
故ab-
故
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