- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x-a|，a∈R．
（I）当-1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．
正确答案
（Ⅰ）f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．
依题意，
由此得a的取值范围是[0，2]．…（4分）
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|．…（6分）
当且仅当（x-2a）x≤0时取等号．
解不等式2|a|≥1-2a，得a≥
故a的最小值为
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）若关于x的不等式a≥f（x）存在实数解，求实数a的取值范围；
（2）若∀x∈R，f（x）≥-t2-
正确答案
（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|x-2|=
∴fmin（x）=f（-
由题意可得a≥-
（2）∵∀x∈R，f（x）≥-t2-
∴-
故实数t的取值范围为[
设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1）．
（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．
正确答案
（1）因为|x-4|+|x-a|≥|x-4-（x-a）|=|a-4|，…（3分）
所以|a-4|=3，即 a=7，或 a=1． …（5分）
由a＞1知 a=7．…（6分）
（2）当x≤4时，不等式化为-2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）
当4＜x＜7时，不等式化为 3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）
当x≥7时，不等式化为 2x-11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）
综上，不等式f（x）≤5 的解集为 {x|3≤x≤8}． …（10分）
已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m
（1）解关于x的不等式f（x）-1＜0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=|x-2|，
∴f（x）-1＜0⇔|x-2|＜1，
∴1＜x＜3．
∴不等式f（x）-1＜0的解集为{x|1＜x＜3}；
（2）∵f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴g（x）max＜f（-3），即m＜f（-3）=5．
∴m的取值范围为：m＜5．
设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）证明：函数φ(x)=
正确答案
（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化为|-4x+b|＜k，∴
又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=
在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），∴y°=
设N（x°，y°）关于P(
∵φ(1-x°)=
又-2-y°=-2-
∴N′（1-x°，-2-y°）在函数φ（x）图象上，
∴函数φ(x)=
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