热门试卷

（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和，

而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．

（2）若关于x的不等式f（x）＞a2-2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2-2a．

而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，

∴3＞a2-2a，解得-1＜a＜3，

故所求的a的取值范围为（-1，3）．

解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）

又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）

再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0，

于是有f（-x）=f（x）

∴f（x）是偶函数；

 （2）设012，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-

由于012∴

从而

故f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）2）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）由于f（2）=1，

所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），

于是待解不等式可化为f（2x2-1）

结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|<4

解得。

（1）不等式f（x）+g（x）＞1，即|x+a|＞|x-3|，

两边平方得：2（a+3）x＞（3+a）（3-a）

∴当a=-3时，解集为∅

当a＞-3时，解集为(，+∞)；

当a＜-3时，解集为(-∞，)

（2）若对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，则|x+a|＞-|x-3|+1对任意实数x恒成立，即|x+a|+|x-3|＞1恒成立，

∵|x+a|+|x-3|≥|a+3|

∴|a+3|＞1，解得a＞-2或a＜-4

（本小题满分12分）

（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．

∵点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上

∴-y'=loga（x'+2a-3a），即y′=loga

∴g(x)=loga

（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，=＞0．

又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga|=|loga(x2-4ax+3a2)|

∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x2-4ax+3a2对称轴为x=2a

∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x2-4ax+3a2在[a+2，a+3]上为增函数，

∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，

从而[u（x）]max=u（a+2）=loga（4-4a）．

[u（x）]min=u（a+3）=loga（9-6a），

又0＜a＜1，则

∴0＜a≤

（3）由（1）知g(x)=loga，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=loga=-logax，

∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，

即F（x）=-a2x2+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=，又在[，4]的最大值为，

①令＜⇒a2-4a-2＞0⇒a＜2-(舍去)或a＞2+；此时F（x）在[，4]上递减，∴F（x）的最大值为F()=⇒-a2+(2a+1)=⇒a2-8a+16=0⇒a=4∉(2+，+∞)，此时无解；

②令＞4⇒8a2-2a-1＜0⇒-＜a＜，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜；此时F（x）在[，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=⇒-16a2+8a+4=⇒a=，又0＜a＜，∴无解；

③令≤≤4⇒⇒且a＞0，且a≠1

∴≤a≤2+且a≠1，此时F（x）的最大值为F()=⇒-a2+=⇒=⇒a2-4a-1=0，

解得：a=2±，又≤a≤2+且a≠1，∴a=2+；

综上，a的值为2+．