绝对值不等式的解法
共1415题

· 绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法
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题型：填空题

填空题

若不等式|x-1|+|x-7|＜a有实数解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

∵|x-1|+|x-7|≥|（x-1）-（x-7）|=6，

∴要使不等式|x-1|+|x-7|＜a有实数解，则必有a＞6．

故答案为（6，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).

(I)当a=1时，解不等式f(x)>3;

(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围

正确答案

(I) ；(II)或.

试题分析：(I) 分三种情况去掉绝对值解不等式；(II)分三种情况讨论，即

得的最小值为，再得，解不等式得a的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)解得；解得；

解得， 3分

不等式的解集为. 5分

(Ⅱ)；

；；

的最小值为； 8分

则，解得或. 10分

题型：简答题

简答题

已知.

(1)当时，解不等式；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

(1) (2)

本试题主要是关于绝对值不等式的求解，以及函数的最值问题的运用。

（1）利用去掉绝对值符号，分为三段论来讨论得到解集。

（2）要是不等式恒成立，转换为关于x的函数与参数的不等式关系，借助于最值得到结论。解：(1)当a=1时，，即（※）

① 当时，由（※）

又，………………2分

②当时，由（※）

又，………………4分

③ 当时，由（※）

又，………………6分

综上：由①②③知原不等式的解集为…………7分

(2)当时，,即恒成立，

也即在上恒成立。………………10分

而在上为增函数，故

当且仅当即时，等号成立.

故………………13分

题型：填空题

填空题

不等式|3x-2|＞4的解集是______．

正确答案

由|3x-2|＞4可得 3x-2＞4 或 3x-2＜-4，∴x＞2 或 x＜-．

故答案为：(-∞，-)∪(2，+∞)．

题型：简答题

简答题

已知定义在R上的函数的最小值为.

（1）求的值；

（2）若为正实数，且，求证：.

正确答案

（1）；（2）证明见解析．

试题分析：

解题思路：（1）利用求得的最小值；

（2）利用证明即可.

规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.

试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.

（2）由（1）知,又因为是正数,

所以,

即.

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