绝对值不等式的解法
共1415题

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绝对值不等式的解法
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题型：简答题

简答题

已知实数组成的数组满足条件：

①； ②．

（Ⅰ）当时，求，的值；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设,且，求证：．

正确答案

（1）或；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）列出方程组求解；（2）应用绝对值不等式进行证明；（3）应用绝对值不等式可以证明.

试题解析：（Ⅰ）解：

由（1）得，再由（2）知，且.

当时，.得，所以 2分

当时，同理得 4分

（Ⅱ）证明：当时，

由已知,.

所以

. 9分

（Ⅲ）证明：因为，且.

所以,

即 . 11分

)

. 14分.

题型：简答题

简答题

设不等式的解集为.（I）求集合；（II）若，∈，试比较与的大小.

正确答案

（I）（II）

试题分析：（I）由所以

（II）由（I）和，所以故

点评：简单题，绝对值不等式的解法，往往从“去”绝对值的符号入手，主要方法有“平方法”“分类讨论法”，有时利用绝对值的几何意义，会简化解题过程。比较大小问题，常常利用“差比法”—作差---变形---定号。

题型：填空题

填空题

（不等式选讲）如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是。

正确答案

略

题型：填空题

填空题

选做题

（1）（矩阵与变换选做题）已知矩阵M=，曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线C，则C的方程是______．

（2）（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin(θ+)+=0的距离是______．

（3）（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x-1|-|x+2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是______．

正确答案

（1）由已知得M=，

设（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，

点（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为（x'，y'），

则有=，即=，

所以

因为点（x，y）在曲线y=sinx上，

从而-y′=sinx′，即y′=-2sinx′．

所以曲线C的方程为y=-2sinx．

（2）∵ρsin（θ+)+=0=0，

∴ρ（sinθ+cosθ）=0，

∴y+x=0，

∴点（2，）到直线ρsin(θ+)+=0的距离⇔点（0，2）到直线y+x=0的距离，

∵点（0，2）到直线y+x=0的距离d==，

∴点（2，）到直线ρsin(θ+)+=0的距离是；

（3）令g（x）=|x-1|-|x+2|，则|x-1|-|x+2|≥a的解集为R⇔a＜g（x）min恒成立，

∵g（x）=|x-1|-|x+2|=，

∴g（x）min=-3，

∴a＜-3．

∴实数a的取值范围是（-∞，-3）．

故答案为：（1）y=-2sinx；（2）；（3）（-∞，-3）．

题型：填空题

填空题

若关于x的不等式|2x+3|+|2x-1|≤a有解，则实数a的取值范围为______．

正确答案

不等式|2x+3|+|2x-1|≤a转化为：2（|x+|+|x-|）≤a．

|x+|+|x-|表示数轴上的x对应点到-和对应点的距离之和，其最小值为2，

2（|x+|+|x-|）的最小值为4，故当a≥4时，关于x的不等式|2x+3|+|2x-1|≤a有解，

故实数a的取值范围为[4，+∞），

故答案为：[4，+∞）．

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