- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
若不等式恒成立,则实数a的取值范围是 .
正确答案
【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的,错误原因有解法单一,比如只会运用去绝对值的方法,这样会导致计算量较多,易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。
【正解】|a-b|的几何意义是:数轴上表示数a、b的两点的距离.对于本题用绝对值的几何意义来解,能很直观地看出的最小值为3,
要使不等式恒成立
则,即a的取值范围是
。
(不等式选讲选做题) 若不等式无实数解,则
的取值范围是 .
正确答案
本题考查绝对值的几何意义以及相关参数问题的解法.
〖思路分析〗利用的几何意义求出
的取值范围;若不等式
无实数解,则必有
不大于
的最小值。
〖解答〗由绝对值的几何意义得表示的点
与
的距离之和,易知
时
;当
或
时
,所以对于任意的
都有
.即
的最小值为
,所以若不等式
无实数解,则
.所以
的取值范围是
〖评注〗利用绝对值的几何意义求出的取值范围是觖这类问题的关键.
已知,则
的取值范围是_______
正确答案
略
解不等式
正确答案
{x|x>}.
分析:关键是去掉绝对值.
方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)
①当时,
∴
∴4<1
②当时∴
,∴
③当时∴
-4<1
∴
综上,原不等式的解集为
也可以这样写:
解:原不等式等价于①或②
或 ③
,
解
①的解集为φ,
②的解集为{x|
③的解集为{x|x3},∴原不等式的解集为{x|x>
}.
方法2:数形结合:从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点
∴原不等式的解集为{x|x>}.
(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数
(1)当时,求
的解集;
(2)若关于的不等式
的解集是
,求
的取值范围.
正确答案
(1) . (2)
.
(1)先利用零点分段法去掉绝对值转化为分段函数,然后分段求解,再求并集即可.
(2)本小题实质是恒成立问题,即求出f(x)的最小值,令最小值大于或等于2得到关于m的不等式,求出m的取值范围.
解:(1) ,
. 令
.
则不等式等价于或
或
,
解之得或
,
不等式的解集为
.
5分
(2) ,
.
由题意,不等式的解集是
,
则在
上恒成立.
而, 故
. 10分
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