- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
(1)求不等式|x+7|-|3x-4|+-1>0解集A;
(2)若不等式(x+a)(x-5a)<0(a>0)的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围.
正确答案
(1)不等式为|x+7|-|3x-4|+-1>0,
①当x>时,原不等式化为x+7-(3x-4)+
-1>0,
解得x<5+,∴
<x<5+
;
②当-7≤x≤时,原不等式化为x+7+(3x-4)+
-1>0,
得x>--
,即-
-
<x≤
;
当x<-7时,原不等式化为x+7-(3x-4)+-1>0,
得x>6-,与x<-7矛盾;
综上可得:A={x|--
<x<5+
}.
(2)由(1)可得:A={x|--
<x<5+
},
由不等式(x+a)(x-5a)<0(a>0)解得-a<x<5a,
∴B={a|-a<x<5a,a>0},A∩B=B⇒B⊆A,
∴,且a>0,解得0<a<1+
.
∴a∈(0,1+).
(不等式选讲选做题)不等式|x2-3x-4|>x+1的解集是______.
正确答案
原不等式等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)
,
等价于或
,等价于x>5或x<-1或-1<x<3.
∴原不等式的解集为{x|x>5或x<-1或-1<x<3}.
故答案为 {x|x>5或x<-1或-1<x<3}.
解不等式|x2-3x-4|>x+1.
正确答案
原不等式等价于,或
,
⇒或
,∴x>5或x<-1或-1<x<3.
∴原不等式的解集为:{x|x>5或x<-1或-1<x<3}.
设关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)>a
(1)当a=1时,解这个不等式;
(2)当a为何值时,这个不等式的解集为R.
正确答案
(1)由题意得:|x+3|+|x-7|>10,
当x≥7时x+x-4>10得:x>7(3分)
当-3<x<7时,x+4-x>10不成立(5分)
当x≤-3时-x+4-x>10得:x<-3(7分)
解得:x<-3或x>7(6分)
(2)设t=|x+3|+|x-7|,
则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10,
因y=lgx在(0,+∞)上为增函数,
∵|x+3|+|x-7|的最小值为10,
∴lg(|x+3|+|x-7|)的最小值为1(8分)
要使不等式的解集为R,则须a<1(10分)
(本小题满分14分)已知集合是满足下列性质的函数
的全体:对于定义域B中的任何两个自变量
,都有
。(1)当B=R时,
是否属于
?为什么?(2)当B=
时,
是否属于
,若属于请给予证明;若
不属于说明理由,并说明是否存在一个使
属于
?
正确答案
解:(1)设,则
(2)当B=时,
不属于
取,此时
故不属于
但存在一个集合,使
属于
设
,则
若,则只需
,故可取
,
此时属于
略
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