- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）
正确答案
（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
结合题意可得
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）可化为|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式等价于
或
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2-
已知 |x|＜
正确答案
证明：∵0＜|x|＜
∴由不等式的性质，可得|xy|＜a
设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
正确答案
（1）{x|x≥3或x≤－1}（2）a＝2
(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组
由题设可得－
已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
正确答案
由题知，|x－1|＋|x－2|≤
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，
∴
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得
已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）{x|x≤0或x≥2}（2）a≥3
(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥1，∴x≥2或x≤0，
∴不等式解集为{x|x≤0或x≥2}．
(2)不等式的解集为R，即|ax－1|＋|ax－a|≥2(a>0)恒成立．
∵|ax－1|＋|ax－a|＝a
∴a
∴实数a的取值范围为[3，＋∞)．
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