- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
正确答案
（Ⅰ）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，∴0＜x＜1，
集合M=（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a，b∈M知 0＜a＜1，0＜b＜1，
所以（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
故 ab+1＞a+b．
解不等式|2x+1|＞|x-1|
正确答案
∵|2x+1|＞|x-1|，
∴（2x+1）2＞（x-1）2，
∴3x2+6x＞0，
解得x＞0或x＜-2．
∴|2x+1|＞|x-1|的解集为：{x|x＞0或x＜-2}．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）f（x）=2|x-2|-x+5=
显然，函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值m=f（2）=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x-a|+|x+2|≥3恒成立，
由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，
等号当且仅当（x-a）（x+2）≤0时成立，
故|a+2|≥3，
解之得a≥1或a≤-5．
所以实数a的取值范围为a≥1或a≤-5．
选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C1为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C2的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C1的交点为A，ι与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为
正确答案
（1）由曲线C2的方程：ρ=6cosθ得 ρ2=6ρcosθ，所以C2的直角坐标方程是 x2+y2-6x=0．--（2分）
由已知得C1的直角坐标方程是
当a=0时射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标为A（a，0）、B （6，0），-----（3分）
∵|AB|=4，∴a=2，∴C1的直角坐标方程是 
（2）m的参数方程为 
将②带入①得13t2+4t-12=0，设D、E 点的参数分别是t1、t2，
则有 t1+t2=-
∴|PD|-|PE|=|t1+t2|=
（1）解关于x的不等式x+|x-1|≤3；
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）由不等式x+|x-1|≤3，可得 
故不等式的解集为（-∞，2]．
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．
当x≥1时，不等式化为x+x-1≤a，即x≤
当x＜1时，不等式化为x+1-x≤a，即1≤a．此时不等式有解当且仅当a≥1．
综上所述，若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，则实数a的取值范围是[1，+∞）．
扫码查看完整答案与解析