- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|，解不等式|f（x）|≤4．
正确答案
（1）对于函数f（x）=|x+1|-|x-3|．
当-1＜x＜3时，f（x）=（x+1）+（x-3）=2x-2．
故-2≤2x≤6，即-4≤2x-2≤4．
当x＞3时，f（x）=（x+1）-（x-3）=4
当x＜-1时，f（x）=-（x+1）+（x-3）=-4
故-4≤f（x）≤4，即|f（x）|≤4的解集为R．
故答案为R．
（选做题）已知函数f（x）=|x+1|，
（1）解不等式f（x）≥2x+1；
（2）∃x∈R，使不等式f（x-2）-f（x+6）＜m成立，求m的取值范围．
正确答案
（1）当x+1≥0即x≥-1时，x+1≥2x+1，∴-1≤x≤0，
当x+1＜0即x＜-1时，-x-1≥2x+1，∴x＜-1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}．
（2）∵f（x-2）=|x-1|，f（x+6）=|x+7|，∴|x-1|-|x+7|＜m，
∵∃x∈R，使不等式|x-1|-|x+7|＜m成立，∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值．
令g（x）=|x-1|-|x-7|，
则g（x）=
∴g（x）的最小值为-8．
∴m＞-8．
不等式|x|≥2（x-1）的解集为______．
正确答案
①若x≥0，得x≥2x-2，∴0≤x≤2；
②x＜0，得-x≥2x-2，∴3x≤2，∴x≤0，
综上不等式|x|≥2（x-1）的解集为：[-∞，2]，
故答案为：[-∞，2]．
若关于x的不等式|x+2|+|x-3|≤|a-1|存在实数解，则实数a的取值范围是．______．
正确答案
令f（x）=|x+2|+|x-3|，
则令f（x）=|x+2|+|x-3|≥|x+2+3-x|=5，
依题意，不等式|x+2|+|x-3|≤|a-1|存在实数解⇔|a-1|≥f（x）存在实数解⇔|a-1|≥f（x）min=5，
∴a-1≥5或a-1≤-5，
∴a≥6或a≤-4．
∴实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[6，+∞）．
故答案为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．
已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]2+y2+z2=9，试求x+2y+2z的最小值．
正确答案
（Ⅰ）不等式f（x-1）＞2即|x-1|＞2．
解得 x＜-1，或 x＞3．
故原不等式的解集为 {x|x＜-1，或 x＞3}．
（II）[f（x）]2+y2+z2=9，即x2+y2+z2=9，
由于（x2+y2+z2）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，
∴9×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）2，
∴-9≤x+2y+2z≤9．
则x+2y+2z的最小值为：-9．
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