- 绝对值不等式的解法
- 共1415题
已知函数
（1）若不等式
（2）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数
正确答案
（1）
试题分析：（1）由|2x a|+a≤6得|2x a|≤6 a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）="|2x" 1|+1，令φ（n）=f（n）+f（ n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m f（ n）成立，只须m大于等于φ（n）的最小值即可，从而求出实数m的取值范围．
试题解析：(1)由
则
（2）由（1）知
则原不等式为
所以
（本小题满分12分）
已知f(x)=
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若
正确答案
(Ⅰ)a =2．(Ⅱ)k≥1．
试题分析：(I)本小题属于
（II）先根据h(x)= f(x)−2f
从而可得
(Ⅰ) 由
当a≤0时，不合题意．
当a>0时，−
(Ⅱ)记h(x)= f(x)−2f
所以|h(x)|≤1，因此k≥1．
点评：掌握常见不等式类型的解法是求解此类问题的关键，对于绝对值不等式一般有两种类型：(1)
|x|2-2|x|-15＞0的解集是______．
正确答案
∵|x|2-2|x|-15＞0，∴|x|＜-3或|x|＞5，
显然|x|＜-3无解
由|x|＞5，可得x∈（-∞，-5）∪（5，+∞）．
所以不等式的解集为：（-∞，-5）∪（5，+∞）
故答案为：（-∞，-5）∪（5，+∞）．
设函数f(x)=
(1)当a=-5时,求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.
正确答案
(1)(-∞,-2]∪[3,+∞) (2) a≥-3
(1)由题设知|x+1|+|x-2|-5≥0,如图,在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|和y=5的图象,知定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).
(2)由题设知,当x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0,即|x+1|+|x-2|≥-a,又由(1)知|x+1|+|x-2|≥3,所以-a≤3,即a≥-3.
已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
(1) a＝2 (2) (－∞，5]
(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以
(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，
当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．
方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x＜－3时，g(x)＞5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x＞2时，g(x)＞5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．
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