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题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,直线经过⊙上的点,并且交直线,连接

(1)求证:直线是⊙的切线;

(2)若的半径为,求的长。

正确答案

见解析

解析

解析: (1)如图,连接

是圆的半径, 是圆的切线。-------------3分

(2)是直径,

,-----------5分

-----------------------7分

--------9分

------------------------10分

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,其中,E是PC的中点。

(1)求证:BE∥平面PAD;

(2)若⊥平面,求平面与平面夹角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

设AB=a,PA=b,如图建立空间坐标系,则A(0,0,0),B(a, 0, 0), P(0, 0, b)

C(2a,2a,0),D(0,2a,0),E(a,a,b/2)…………2分

(1)

……………………4分

∥平面PAD……………5分

(2)∵BE⊥平面PCD∴BE⊥PC即

又∵既b=2a…………7分

设平面BDE的一个法向量为n1=(x,y,z),又

令z=-1则n1=(2,1,-1)……………9分

∵AP⊥面BCD∴平面BDC的一个法向量为n2=(0,0,1)…………10分

∴cos<n1,n2>=…………………11分

∴平面BDE与平面BDC夹角的余弦值为……………………12分

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

中,分别是角所对的边,且

(1)求角的大小;

(2)若,求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

(1)由2,得

2            

,               

。               

(2)由余弦定理,得

,得,       

所以

所以面积的最大值为           

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 15 分

已知四边形是矩形,是等腰三角形,平面平面分别是的中点。

(1)求证:直线平面

(2)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解:(1) 如图建立空间直角坐标系

设平面的法向量

, 则  所以 

而 

所以  又 平面

所以平面                

(2) 假设在线段上存在点,使平面平面

,平面的法向量为

,令 

   所以 

若平面平面,则

即  

得:

所以,存在点,使平面平面,且 

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点。

(1)求证:平面;

(2)求平面和平面的夹角.

正确答案

见解析

解析

解:

(1)如图,以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

.

设平面的法向量为

  令,

.         

平面平面

(2)底面是正方形,平面

,平面

向量是平面的一个法向量,又由(1)知平面的法向量.       

二面角的平面角为.   

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

设点P是曲线y=x3x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________

正确答案

解析

∵y=3x2≥-,  

  ∴tanα≥-

又∵ 0≤α≤∏         

 ∴0≤α<

知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若直线与圆有公共点,则实数a取值范围是

A[-3,-1]                             

B[-1,3]

C[-3,l ]                                                                    

D(-∞,-3]  [1。+∞)

正确答案

C

解析

因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知点和圆AB是圆O的直经,从左到右M、O和N依次是AB的四等分点,P(异于A、B)是圆0上的动点,交AB于D,,直线PA与BE交于C,|CM|+|CN| 为定值。

(1)求的值及点C的轨迹曲线E的方程。

(2)若点Q、R是曲线E上不同的的点,且PQ、PR与曲线E相切,求△OQR面积的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)易得,设

直线PA与BE交于C,

,②………………2分

①②相乘得又因为点P(异于A,B)是圆O上的动点,故

, 要使为定值,则解得 此时

时,点C的轨迹曲线E的方程为………………5分

(2)设又因为点P(异于A,B) 是圆O上的动点,故直线QR斜率存在,设直线QR的方程为  则PQ、PR的方程分别为所以故直线QR的方程为比较系数,得

  ③………………7分

另一方面,由与椭圆联立,得,于是得     ④

⑤………………9分

所以又因为O到QR的距离为所以△的面积

将③④⑤代入消去k,得其中………………11分

易知是减函数,于是当时,

………………13分

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,在四面体中,平面的中点,的中点,点在线段上,且

(1)证明:平面

(2)若异面直线所成的角为,二面角的大小为,求的值。

正确答案

见解析。

解析

法一:⑴如图,连并延长交,连,过

。故,从而。因平面平面,故平面

⑵过,作,连。因平面,故平面平面,故平面,因此,从而平面,所以即为二面角的平面角。因,故,因此即为的角平分线。由⑴易知,故,从而。由题易知平面,故。由题,故。所以,从而

法二:如图建立空间直角坐标系,则

(1)设,则,因此。显然是平面的一个法向量,且,所以平面

(2)由(1),故由,因此,从而。设是平面的法向量,则,取。设是平面的法向量,则,取。故.

知识点

直线的倾斜角与斜率
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

分别为直角坐标系中与轴、轴正半轴同方向的单位向量,若向量.

(1)求点的轨迹的方程;

(2)设抛物线的顶点为,焦点为.直线过点与曲线交于两点,是否存在这样的直线,使得以为直径的圆过点,若存在,求出直线方程;

若不存在,请说明理由?

正确答案

见解析

解析

解:(1)∵,则

由两点间的距离公式得:(即动点到两定点的距离之和为定值)

(2)因抛物线方程为:,故.

当直线轴时,不合题意。

当直线不垂直于轴时,设直线方程为:

    设A,B,且△>0恒成立,

又∵

可得:, 故所求的直线方程为:

知识点

直线的倾斜角与斜率
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

是圆O的直径,为圆O上一点,过作圆O的切线交延长线于点,若DC=2,BC=1,则       .

正确答案

解析

连接BD、OD,如下图所示:

由已知中AB为圆O的直径,则∠ADB=90°

又∵CD为圆的切线,则CD2=CB•CA,即(2)2=CA,∴CA=4,∴AB=3,得圆的半径r=

在直角△CDO中,则sin∠DCA.

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知动圆过定点P(2,0),且在y轴上截得弦长为4。

(1)求动圆圆心的轨迹Q的方程;

(2)已知点E(m,0)为一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点,且M、N分别是线段AB、CD的中点,若k1 + k2 = 1,求证:直线MN过定点。

正确答案

见解析。

解析

(1)设动圆圆心为O1(x,y),动圆与y轴交于R,S两点,由题意,得|O1P|=|O1S|,

当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥RS交RS于H,则H是RS的中点,

∴|O1S|=

又|O1P|=

=

化简得y2=4x(x≠0)。

又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=4x,

∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2=4x

(2)由,得

AB中点,∴,同理,点

          

∴MN:,即

∴直线MN恒过定点

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 7 分

选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,)。

(1)求C1的直角坐标方程;

(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)曲线的极坐标方程为,

∴曲线的直角坐标方程为,      ---------------------------------------------------3分

(2)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧,

如下图所示,曲线为一族平行于直线的直线,      ------------4分

当直线过点时,利用

舍去,则

当直线过点两点时,,    ------------6分

∴由图可知,当时,

曲线与曲线有两个公共点,   -----------------------7分

知识点

直线的倾斜角与斜率
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题型:简答题
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简答题 · 7 分

选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆为圆心,半径为
(1)求直线的参数方程和圆的极坐标方程;
(2)试判定直线和圆的位置关系。

正确答案

见解析。

解析

本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,满分7分。

(1)直线的参数方程为(t为参数)---------2分

圆C的极坐标方程为    ---------4分

(2)因为对应的直角坐标为(0,4)直线化为普通方程为,圆心到的距离

所以直线与圆C相。……7分

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

10.与圆内切,且与y轴相切的圆的圆心轨迹方程为()                 .

正确答案

解析

设所求圆的圆心C坐标为(x,y),则圆的半径为|x|,又与圆内切,|OC|=3-|x|.当x>0时,方程为,当x<0时,方程为,所以圆心轨迹方程为.

知识点

直线的倾斜角与斜率
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