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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,△中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与分别相切于点,与交于点),将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;

(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)连接,则

,则

中,

所以,--------------------------(4分)

所以。-----------------(6分)

(2)中,,

,-------------------------------(8分)

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知实数满足,则的最大值为                。

正确答案

解析

由柯西不等式,答案:

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,平行四边形中,,若的面积等于1cm,

的面积等于                cm

正确答案

9

解析

显然为相似三角形,又,所以的面积等于9cm

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,直线与圆相切于点,割线经过圆心,弦于点,则   ,

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在△ BC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=BD,延长AE交 BC于点F,则的值为  。

正确答案

解析

如图所示,

过点B作BM∥AC交BF的延长线于点M。

=,∴==

故答案为

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

直线的倾斜角的大小是____________。

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在四棱锥中,//平面.

(1)设平面平面,求证://

(2)求证:平面

(3)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明: 因为//平面平面

所以//平面.…………………2分

因为平面,平面平面

所以//.…………………4分

(2)证明:因为平面,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

. ……………………5分

所以

所以

.

所以 .

因为 平面

平面

所以 平面.……………………9分

(3)解:设(其中),,直线与平面所成角为.

所以 .

所以 .

所以 .

所以 .……………………11分

由(2)知平面的一个法向量为.…………………12分

因为

所以 .

解得 .

所以 .  …………………14分

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上。

(1)证明:平面

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有

因为平面平面,所以平面

(2)解法1、

如图,在图乙中作,垂足为,连接

由于平面,则

所以平面,则

所以平面与平面所成二面角的平面角,

图甲中有,又,则三点共线,

的中点为,则,易证,所以,

又由,得

于是,

中,,即所求二面角的余弦值为

解法2、

如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线,

的中点为,则,易证,所以,则

又由,得

于是,

中,

于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则,则(坐标系、坐标、向量各1分)    ……11分

显然,是平面的一个法向量,

是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则

设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图, 中,侧棱与底面垂直, ,,点分别为的中点。

(1)证明: ;

(2)求二面角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

如图所示,取A1B1的中点P,连接MP,NP。

又∵点M,N分别为A1B和B1C1的中点,∴NP∥A1C1,MP∥B1B,

∵NP⊂平面MNP,A1C1⊄平面MNP,∴NP∥平面A1ACC1

同理MP∥平面A1ACC1

又MP∩NP=P,

∴平面MNP∥平面A1ACC1

∴MN∥平面A1ACC1

(2)侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB,A1A⊥AC,及AB⊥AC,可建立如图所示的空间直角坐标系。

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),N(1,1,2),M(1,0,1)。

=(﹣1,2,﹣1),=(1,﹣1,2),=(0,2,0)。

设平面ACM的法向量为=(x1,y1,z1),则,令x1=1,则z1=﹣1,y1=0。

=(1,0,﹣1)。

设平面NCM的法向量为=(x2,y2,z2),则,令x2=3,则y2=1,z2=﹣1。

=(3,1,﹣1)。

===

设二面角N﹣MC﹣A为θ,则==

故二面角N﹣MC﹣A的正弦值为

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知四棱锥的底面是菱形;平面,

的中点。

(1)求证:平面

(2)求二面角的正切值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:  

连结交于点,连结.

是菱形, ∴的中点.

的中点, ∴.

平面平面, ∴平面.

(2)解法一:

平面,平面,∴ .

,∴.

是菱形,  ∴.

平面.

,垂足为,连接,则,

所以为二面角的平面角.

,∴.

在Rt△中,=

.

∴二面角的正切值是.

解法二

如图,以点为坐标原点,线段的垂直平分线所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,令

,

设平面的一个法向量为,

,得

,则,∴.

平面,平面,

.

,∴.

是菱形,∴.

,∴平面.

是平面的一个法向量,

∴二面角的正切值是.

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

直线为参数)的倾斜角的大小为()

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率直线的参数方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

直线的倾斜角的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是  。

正确答案

1

解析

:圆ρ=2 即x2+y2=4,圆心为(0,0),半径等于2.

直线 =3即ρsinθ+ρcosθ=6 即 y+x﹣6=0,

圆心到直线的距离等于 =3,故圆上的点到直线的距离的最小值为 3﹣2=1,

故答案为 1。

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,直角梯形中,,过,垂足为分别是的中点。现将沿折起,使二面角的平面角为

⑴求证:平面平面

⑵求直线与面所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

⑴证明:DEAE,CEAE,

 AE平面

 AE平面

平面平面

⑵(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系

DEAE,CEAE,

是二面角的平面角,即=

A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,,1)。

分别是的中点,

F,G

=,=

由⑴知是平面的法向量,

设直线与面所成角

故求直线与面所成角的正弦值为

(方法二)作,与相交于,连接

由⑴知AE平面,所以平面是直线与平面所成角…

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

设地球半径为,北纬圈上有两地,它们的经度相差,则这两地间的纬度线的长为           ,

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
下一知识点 : 圆锥曲线与方程
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