热门试卷

（1）连接，则，

设，则，

在中，，

所以，--------------------------（4分）

所以。-----------------（6分）

（2）中，，,，

，-------------------------------（8分）

。

（1）证明： 因为//，平面，平面，

所以//平面.…………………2分

因为平面，平面平面，

所以//.…………………4分

（2）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，. ……………………5分

所以 ，，

，

所以，

.

所以 ，.

因为 ，平面，

平面，

所以 平面.……………………9分

（3）解：设（其中），，直线与平面所成角为.

所以 .

所以 .

所以 即.

所以 .……………………11分

由（2）知平面的一个法向量为.…………………12分

因为 ，

所以 .

解得 .

所以 .  …………………14分

（1）证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，

因为平面，平面，所以平面

（2）解法1、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，

由于平面，则，

所以平面，则，

所以平面与平面所成二面角的平面角，

图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，，

又由，得，

于是，，

在中，，即所求二面角的余弦值为

解法2、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， 所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，则；

又由，得，

于是，，

在中，

作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分）    ……11分

显然，是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则，

设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为。

（1）

如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP。

又∵点M，N分别为A1B和B1C1的中点，∴NP∥A1C1，MP∥B1B，

∵NP⊂平面MNP，A1C1⊄平面MNP，∴NP∥平面A1ACC1；

同理MP∥平面A1ACC1；

又MP∩NP=P，

∴平面MNP∥平面A1ACC1；

∴MN∥平面A1ACC1；

（2）侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系。

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）。

∴=（﹣1，2，﹣1），=（1，﹣1，2），=（0，2，0）。

设平面ACM的法向量为=（x1，y1，z1），则，令x1=1，则z1=﹣1，y1=0。

∴=（1，0，﹣1）。

设平面NCM的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x2=3，则y2=1，z2=﹣1。

∴=（3，1，﹣1）。

∴===。

设二面角N﹣MC﹣A为θ，则==。

故二面角N﹣MC﹣A的正弦值为。

（1）证明:  

连结，与交于点，连结.

是菱形, ∴是的中点.

点为的中点, ∴.

平面平面, ∴平面.

（2）解法一:

平面,平面,∴ .

，∴.

是菱形,  ∴.

，

∴平面.

作，垂足为，连接，则,

所以为二面角的平面角.

,∴，.

在Rt△中,=，

∴.

∴二面角的正切值是.

解法二：

如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，

则，,。

∴。

设平面的一个法向量为,

由，得，

令，则，∴.

平面,平面,

∴.

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.

∴是平面的一个法向量,。

∴，

∴，

∴，

∴二面角的正切值是.

⑴证明：DEAE，CEAE，，

 AE平面，

 AE平面，

平面平面，

⑵（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系

DEAE，CEAE，

是二面角的平面角，即=

，，，

A（2，0，0），B（2,1,0），C（0,1,0），E（0,0,0），D（0，,1）。

、分别是、的中点，

F，G

=,=，

由⑴知是平面的法向量，

设直线与面所成角，

则，

故求直线与面所成角的正弦值为，

（方法二）作，与相交于，连接

由⑴知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角…