热门试卷

由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等

由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线

（确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）

所以动圆圆心的轨迹的方程为.

⑵解法1、

设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分）

将其代入抛物线方程，得：，所以.

联立 ，消去，得：

由，得，

注意到，即，所以，即，

因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.

解法2、

设 ，因为两点关于直线对称，则，

即，解之得

即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）

联立 ，消去，得：

由，得，

注意到，即，所以，即，

因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为.

（1）解：设点的坐标为。

由题意知                ……………………………3分

化简得   

所以动点的轨迹方程为               ……………………………5分

（2）设直线的方程为，点

因为∽，所以有，由已知得，

所以有（1）                            ……………………………7分

由，得，

（2），（3）        ……………………………10分

由（1）（2）（3）得或

所以 存在点为                           ……………………………13分

（1）由题意得，化简并整理，得 .

所以动点的轨迹的方程为椭圆.      ………3分

（2）当时，、，、

直线的方程为：，直线的方程为：，

方程联立解得，直线、相交于一点.

假设直线、相交于一定点.         ………5分

证明：设，，则，，

由消去并整理得，显然，

由韦达定理得，.             ………7分

因为，，

所以

       ………11分

所以，，所以、、三点共线，                 ………12分

同理可证、、三点共线，所以直线、相交于一定点.14分

（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=﹣1相切，

所以 =|y+1|，

即（y﹣1）2+x2=（y+1）2，

即x2=4y，故轨迹M的方程为x2=4y。

（2）由（1）得y=x2，∴y′=x，

设D（x0，），由导数的几何意义 得直线l的斜率为kBC=，

则A（﹣x0，），设C（x1，），B（x2，）。

则kBC===x0，∴x1+x2=2x0。

kAC==，kAB=，

∴kBC+AB=+==0，∴kAB=﹣kBC。

∴∠BAD=∠CAD。

（3）点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，

不妨设C在AD上方，即x2＜x1，直线AB的方程为：y﹣=﹣（x+x0），与x2=﹣4y联立方程组，

解得B点的坐标为（x0﹣4，），∴|AB|=|x0﹣4﹣（﹣x0）|=2|x0﹣2

由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x0+2|。

∴△ABC的面积为×|x0+2|×2|x0﹣2|=20。

解得x0=±3。

当x0=3时，B（（﹣1，），KBC=，直线BC的方程为6x﹣4y+7=0；

当x0=﹣3时，B（（﹣7，），KBC=﹣，直线BC的方程为6x+4y﹣7=0；

（1）由题意得，

圆的半径为4，且

从而

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,其中长轴,焦距，

则短半轴，

椭圆方程为:

（2）设，则。

∵，∴，∴

∴点在以为圆心，2为半径的的圆上，即点在以为直径的圆上。

又，∴直线的方程为。

令，得。

又，为的中点，∴。

∴，。

∴

。

∴，∴直线与圆相切.

（1）易知A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），

∴，∴a2﹣c2=b2=1，

又，∴，解得a2=4，

∴；

（2）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），

∴，所以直线AQ方程，

∴，则，

∴，

又点P的坐标满足椭圆方程，则，

所以 ，∴，

∴直线QN的方程：，

化简整理得到：，即x0x+2y0y=4，

所以点O到直线QN的距离，

故直线QN与AB为直径的圆O相切。