热门试卷

（1）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.

故由平面 ⊥ ,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.

故四面体ABCD的体积

（2）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而是异面直线与所成角或其补角。

设E为边AB的中点，则EF//BC,由⊥，知⊥，又由（1）有DF⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=

在中，，

从而

因，故BD=AD=a.从而，在中，,又

,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,

故异面直线与所成角的余弦值为

(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)

因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直。

（1）如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，

过三点A2，P2，M作平面，过三点A3，P3，N作平面，

因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面//平面，

再过点A1，A4分别作平面与平面平行，那么四个平面依次相互平行，

由线段A1A4被平行平面截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，

故为所求平面。

（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，

令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有

设平面A3P3N的法向量

有

所以，

因为相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离

解得，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件。

所以所求正四面体的体积

解法二：如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1，则有

据A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得，

于是正四面体的棱长

其体积

（即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）