热门试卷

证明：∵底面三边长，，，∴， 又直三棱柱中，，且，平面，∴平面． 而平面，∴．

证明：设与的交点为，连接， ∵是的中点，是的中点，

∴， ∵平面，平面，∴平面．

解：取的中点，连接，

∵是的中点，∴且．

又∵，，∴平面，

∴平面．

∵，

∴．

方法一：在图1所示的中，设，则.

由，知，为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后(如图2)，，，且.

所以平面.又，所以.

于是，

当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大．

方法二：同方法一，得.

令，由，且，解得.

当时，；当时，.

所以当时，取得最大值．故当时，三棱锥的体积最大．

方法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，.

于是可得，，

且．设，则，因为等价于，

解得，．所以当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.

设平面的一个法向量为，由，及，得

可取．设与平面所成角的大小为，

则由，可得，即.

故与平面所成角的大小为.

方法二：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，

如图b，取的中点，连结，则．

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c，延长至点使得，连，则四边形为正方形，

所以.取的中点，连结，又为的中点，则，

所以.因为平面，又平面，所以.

又，所以平面.又平面，所以.

因为当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的．

即当 (即是的靠近点的一个四等分点)时，.

连结，由计算得，

所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取的中点，连接，

则平面.在平面中，过点作于，

则平面，故是与平面所成的角．

在中，易得，所以是正三角形，

故，故与平面所成角的大小为.