热门试卷

依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

因为＝4，所以A（0，0，0），

B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），

B1（4，0，4）.                          （1分）

（1），，.

因为，所以，即.

因为，所以，即.

又AD、AE平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.

（2）由（1）知为平面AED的一个法向量.

设平面 B1AE的法向量为，因为，，

所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.

∴，

∴二面角的余弦值为.

（3）由，，得，所以AD⊥DE.

由，，得.

由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且，

所以.

方法二：

依题意得，平面ABC，，，

，.

（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.

∵B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥B1B.

BC、B1B平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.

又B1D平面B1BCC1，故B1D⊥AD .

由，，，

得，所以.

又AD、DE平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面.

（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.

由B1D⊥平面AED，AE平面AED，得AE ⊥B1D.

又B1D、DM平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.

因为B1M平面B1DM，所以B1M⊥AE.

故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角.

由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DE平面B1BCC1，所以AD⊥DE.

在Rt△AED中，，

在Rt△B1DM中，，

所以，即二面角B1—AE—D的余弦值为.

（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，

所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且.

由（1）得.

故.