棱柱、棱锥、棱台的体积
共114题

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棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知四棱锥的直观图及三视图如图所示。

（1）求四棱锥的体积；

（2）若是侧棱的中点，

求证：平面；

（3）求二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

由三视图可知，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，且

（1）由锥体体积公式得

（2）连接，交于点，显然为中点，连接，则为三角形中位线，

所以,又在平面外，平面

（3）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，

设面

由同理得

，由图可知，二面角的余弦值为

另解：作BGPA于G,连接DG,易证∠BGD为所求二面角的平面角，易求cos∠BGD=.

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

正确答案

（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，

∴.

∵，

∴.

又∵, ∴.

∵,

∴.

证法二：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

，

∴，

∴.

又∵

∴.

证法三：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

设平面的法向量，

则，解得.

令，则，

∵, ∴.

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,

，

令，得（舍去）或，

得

∴当时，.

（Ⅲ）

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

，

，.

设平面的法向量，

则，解得,

令，则.

设平面的法向量，

则.

由于，所以解得.

令，则.

设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

所以当时，二面角的平面角的余弦值为.

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．如图，在三棱锥D- ABC中，已知BC丄AD，BC=2 ，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是___________。

正确答案

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，是线段EF的中点．

（1）求证：；

（2）设二面角A—FD—B的大小为，求的值；

（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P—BFD的体积的最小值．

正确答案

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 4 分

18．如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，点、分别为面对角线和棱上的动点（包括端点），则下列关于四面体的体积正确的是（）

A此四面体体积既存在最大值，也存在最小值

B此四面体的体积为定值

C此四面体体积只存在最小值

D此四面体体积只存在最大值

正确答案

解析

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知识点

棱柱的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积

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