棱柱、棱锥、棱台的体积_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．

19.求三棱锥的体积；

20.求异面直线与所成角的大小．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连，则

∴为正三角形

∴

又三棱锥的高为

∴

考查方向

多面体的体积

解题思路

确定三棱锥的高为，求得底面的面积，利用棱锥体积公式求得三棱锥的体积；

易错点

三棱锥的高找错了

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

，

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为．

考查方向

异面直线所成的角．

解题思路

利用平行，找到直线与所成的角为（或其补角）

易错点

在圆柱体内找直线与所成角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的

中点，连接.

22.证明：平面. 试判断四面体是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需

写出结论）；若不是，请说明理由；

23.记阳马的体积为，四面体的

体积为，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；

解析

（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是

考查方向

1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；

解题思路

（Ⅰ）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；

易错点

定理使用条件不全.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是

考查方向

简单几何体的体积；

解题思路

结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.

易错点

不会转化求体积。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体

积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A36π

B64π

C144π

D256π

正确答案

C

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.

正确答案

解析

设正方体的棱长为a,利用等体积法即可计算出正方体的棱长为a=。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算及空间想象能力，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

空间几何体的体积计算及空间想象能力。

易错点

对几何体的体积计算公式理解不到位，使用错公式。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是．

正确答案

解析

∵

过做，∵正三棱柱ABC—A1B1C1

∴,即

在中，

∵

∴E点到面的距离等于到面的距离

∴

考查方向

本题主要考查了三棱锥的体积

解题思路

先转化，求的体积，利用线面垂直求出到面的距离，借助，E点到面的距离等于到面的距离，代入体积公式求解

易错点

不会用运用转化化归思想，把三棱锥A—A1EF的体积转化为三棱锥E—AA1F体积

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.

正确答案

（Ⅲ）四棱锥的体积为24.

解析

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

同理，得平面.

又因为，平面，平面，

所以平面平面.

又因为平面，

所以平面.

（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略），

由，得，

又因为，

所以，

因为底面，

所以底面，

所以四棱锥的体积.

考查方向

本题以四棱锥为背景，依托面面垂直性质定理及等腰三角形的性质等重点考查线面垂直、线面平行的判定（面面平行的性质）以及空间几何体体积的求法。本题的设计吻合高考命题的方向，通过以上重要知识点的组合设计突出考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

解题思路

1、第一问由，（通过为底角为45度的等腰三角形得出）即可证平面；

2、第二问可通过证明平面MEF平行平面PAB得出平面；也可以通过取PA中点N，连结MN,BN构造平行四边形MNBE得出NB由线面平行判定得出平面。

3、由PA垂直平面ABCD为基础，通过作PA平行线得出四棱锥的高即可顺利解决问题，于是过作交于点即得到四棱锥的高，然后通过，三角形MND与三角形PAD相似可得MN的值，进而求出四棱锥的体积.

易错点

本题前两问中的证明过程要求严谨、完整，部分学生易书写的不规范、不完整而出错。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，四棱锥中，底面，，底面为梯形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

正确答案

（1）见解析；

（2）．

解析

试题分析：本题属于直线与平面垂直的性质、面面垂直的判定、棱锥的体积等知识点的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（1）证明：如图，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，PAAB=A，∴BC⊥平面PAB.

又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.

（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得，

∴.

又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，

∴DC=2AB，∴，

.

考查方向

本题考查了直线与平面垂直的性质、面面垂直的判定、棱锥的体积等知识点。

解题思路

（1）先由线面垂直的性质得，再结合已知条件可得平面，进而使问题得证；

（2）易证得为等腰直角三角形，从而求得的长，进而求得四棱锥的体积．

易错点

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=　　　　　　．

正确答案

4

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点