棱柱、棱锥、棱台的体积
共114题

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棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

题型：简答题

简答题 · 13 分

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的

中点，连接.

22.证明：平面. 试判断四面体是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需

写出结论）；若不是，请说明理由；

23.记阳马的体积为，四面体的

体积为，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；

解析

（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是

考查方向

1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；

解题思路

（Ⅰ）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；

易错点

定理使用条件不全.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是

考查方向

简单几何体的体积；

解题思路

结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.

易错点

不会转化求体积。

题型：单选题

单选题 · 5 分

9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体

积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A36π

B64π

C144π

D256π

正确答案

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.

正确答案

解析

设正方体的棱长为a,利用等体积法即可计算出正方体的棱长为a=。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算及空间想象能力，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

空间几何体的体积计算及空间想象能力。

易错点

对几何体的体积计算公式理解不到位，使用错公式。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：填空题

填空题 · 5 分

7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是．

正确答案

解析

∵

过做，∵正三棱柱ABC—A1B1C1

∴,即

在中，

∵

∴E点到面的距离等于到面的距离

∴

考查方向

本题主要考查了三棱锥的体积

解题思路

先转化，求的体积，利用线面垂直求出到面的距离，借助，E点到面的距离等于到面的距离，代入体积公式求解

易错点

不会用运用转化化归思想，把三棱锥A—A1EF的体积转化为三棱锥E—AA1F体积

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

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