椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

已知命题P：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）＜0

（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；

（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）∵方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，

∴4-t＞t-1＞0（4分）

解得：1＜t＜（7分）

（2）∵命题P是命题q的充分不必要条件

∴1＜t＜是不等式t2-（a+3）t+（a+2）＜0解集的真子集（10分）

因方程t2-（a+3）t+（a+2）=0两根为1，a+2故只需a+2＞（12分）

解得：a＞（14分）

题型：简答题

简答题

给出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．

（1）若命题p是真命题，求a的取值范围；

（2）如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）若命题p为真，则有

解之得0＜a＜1，即实数a的取值范围为（0，1）；

（2）若命题q为真，则有

△=（2a-3）2-4＞0，解之得a＜或a＞

∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假

∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题，

①当p真q假时，，得≤a＜1；

②当p假q真时，，得a≤0或a≥

所以a的取值范围是（-∞，0]∪[，1）∪[，+∞）．

题型：填空题

填空题

下列命题

①若两直线平行，则两直线斜率相等．

②动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．

③若椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率 e=，则 b=c (c为半焦距)．

④双曲线-=1(a＞b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．

⑤已知抛物线y2=2px上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且OA⊥OB （O为原点），则y1y2=-p2．

其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）

正确答案

对于①，当直线不存在斜率时，不正确；

对于②，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有=λ化简得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（2a+2aλ2）x+a2-a2λ2=0，所以动点M的轨迹是圆，正确

对于③，e=，所以=，所以a2=2c2，所以椭圆中有b2=a2-c2=c2，所以b=c，所以③对；

对于④，双曲线-=1(a＞b＞0)的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：y=±x，根据点到直线的距离公式得到距离==b．所以④正确；

对于⑤，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因为y2=2px，所以y12=2px1，y22=2px2，所以y1y2=-4p2．不正确

故答案为：②③④

题型：填空题

填空题

我们称离心率e=的椭圆叫做“黄金椭圆”，若+=1(a＞0，b＞0)为黄金椭圆，以下四个命题：

（1）长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列．

（2）一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形．

（3）以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形．

（4）P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，只要PQ与OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．

其中正确命题的序号为______．

正确答案

（1）∵离心率e==，不妨设a=2，c=-1，则b2=a2-c2=2-2=ac，∴长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列，故正确；

（2）取A（a，0），B（0，b），焦点F（-c，0），而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2，|AF|2=（a+c）2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2，

∴|BF|2+|BA|2=|AF|2，∴AB⊥BF，∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形，故正确；

（3）把x=c代入椭圆方程得+=1，解得y=±=±c．故正确．

（4）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0），

则+=1，+=1，将两式相减得+=0，∴+=0，又kOM=，∴kPQ•kOM=-，为定值．

综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．

故答案为：（1）（2）（3）（4）．

题型：填空题

填空题

设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k．则下列说法正确的是______

（1）当k=时，点M的轨迹是双曲线．（其中a，b∈R+）

（2）当k=-时，点M的轨迹是部分椭圆．（其中a，b∈R+）

（3）在（1）条件下，点p（x0，y0）（x0＜0）是曲线上的点F1（-，0)，F2（，0），且|PF1|=|PF2|，则（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，]

（4）在（2）的条件下，过点F1（-，0），F2（，0）．满足•=0的点M总在曲线的内部，则（2）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(，1)．

正确答案

设M（x，y），由A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），

则kAM=（x≠-a），kBM=（x≠a），

由kAM•kBM=k，得：•=k，即kx2-y2=ka2①．

（1）若k=（a，b∈R+），则方程①化为-=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，

∴命题（1）不正确；

（2）若k=-（a，b∈R+），则方程①化为+=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，

∴命题（2）正确；

（3）在（1）条件下，点p（x0，y0）（x0＜0）是曲线上的点，说明点P在双曲线-=1的左支上，

F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=|PF2|及|PF2|-|PF1|=2a求得|PF1|=a，|PF2|=a，

又|PF1|+|PF2|=a+a≥2c，∴≤，又e＞1，∴（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，]．

∴命题（3）正确；

（4）在（2）的条件下，由满足•=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2＞4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|=a，所以2a2＞4c2，

则＜．∴命题（4）错误．

所以，正确的命题是②③．

故答案为②③．

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