椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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题型：简答题

简答题

已知椭圆Γ：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，过点F1斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF2，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．

（Ⅰ）求Γ的离心率；

（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

正确答案

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有

|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，①

|AF2|+|BF2|=2|AB|，②

|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，③…（3分）

由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=a，|BF2|=a，

所以点A为短轴端点，b=c=a，

Γ的离心率e==．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2+2y2=a2．

不妨设C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），

则C、D坐标满足，

由此得x1=-，x2=．

设C、D两点到直线AB：x-y+a=0的距离分别为d1、d2，

因C、D两点在直线AB的异侧，则

d1+d2=

=．…（8分）

∴S=|AB|（ d1+d2）

=•a•

= • ．

设t=1-k，则t＞1，

==，

当=，即k=-时，最大，进而S有最大值．…（12分）

题型：填空题

填空题

椭圆+=1的离心率为，则a=______．

正确答案

由题意知，a＞1，e2==或e2==，

∴loga8=12，loga8=，

∴a4=2a274=8，

∴a=或 a=，

故答案为或．

题型：简答题

简答题

利用定积分计算椭圆+=1 (a＞b＞0)所围成的面积．

正确答案

因为椭圆+=1关于x轴和y轴都是对称的，

所以所求之面积为s=4ydx=4dx

令x=asinθ．(0≤θ≤)

则==acosθ，

dx=acosθdθ

∴s=4•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab(cosθ)2dθ=4abdθ

=2ab[+cos2θdθ]=2ab•=πab．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，tan=，•=0(H为垂足)，则过点C，以A，H为两焦点的椭圆的离心率为______．

正确答案

由题意可得tanC==

∵•=0∴AH⊥BC

在Rt△AHC中可得，tanC==

故可设CH=3x，则可得AH=4x，AC=5x

根据椭圆的定义可得，2a=CA+CH=8x，2c=AH=4x

∴e===

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知F1、F2是椭圆+=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是______．

正确答案

由题得：椭圆焦点在X轴上且c2=a2-（10-a）2=20a-100⇒c=，

∵F1、F2是椭圆+=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点

∴△F1BF2的面积：S=|F1F2|•b=•2c•b=bc=（10-a）•=

令y=（10-a）2（20a-100）=20（a3-25a2+200a-500），

∴y′=20（3a2-50a+200）=20（a-10）（3a-20）

所以当a＜或a＞10时y′＞0；

当＜a＜10时y′＜0．

∴当a=时，y有最大值，

所以ymax=20×[(

)3-25×(

)2+200×-500]=

∴Smax==．

故答案为：．

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