椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1的焦点分别是F1，F2

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设点P在这个椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求∠F1PF2的余弦值．

正确答案

（1）因为椭圆+=1，所以a=2，b=，c=1，∴e=…（5分）

（2）由

解得|PF1|=，|PF2|=

又|F1F2|=2，

由余弦定理可得cos∠F1PF2== …（12分）

题型：填空题

填空题

设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则||||=______．

正确答案

∵椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，

∴m-2=3+1，

∴m=6，

∴|PF1|+|PF2|=2 ，||PF1|-|PF2||=2 ，

两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=3．

故答案为：3．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点B，C分别为椭圆+=1的两个焦点，顶点A在该椭圆上，则=______．

正确答案

在△ABC中，根据正弦定理可知====2

故答案为：2

题型：简答题

简答题

已知椭圆的两焦点是F1（0，-1），F2（0，1），离心率e=

（1）求椭圆方程；

（2）若P在椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2．

正确答案

（1）依题意，c=1，=，

∴a=2，b=

∴椭圆方程为+=1；

（2）∵点P在椭圆上，

∴，

∴cos∠F1PF2==．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，=4．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若•=-2，求椭圆的方程．

正确答案

（1）设椭圆方程为+=1，F(-c，0)，M(-，0)．

由=4，有(-，0)=4(-c，0)．（3分）

则有=4c，即=，∴e==．（6分）

（2）设直线AB的方程为y=(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）可得a2=4c2，b2=3c2．

由消去y，得11x2+16cx-4c2=0．（9分）

故 x1+x2=-，x1x2=-c2．

∵•=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，

且y1•y2=2（x1+c）（x2+c）=2x1x2+2c（x1+x2）+2c2．

∴3x1x2+2c（x1+x2）+2c2=-2．（11分）

即-c2-c2+2c2=-2，∴c2=1．则a2=4，b2=2．

椭圆的方程为+=1．（13分）

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