热门试卷

（1）设点P（x，y），

依题意，有=．

整理，得+=1．

所以动点P的轨迹C的方程为+=1．

（2）∵点E与点F关于原点O对称，

∴点E的坐标为(-，0)．

∵M、N是直线l上的两个点，

∴可设M(2，y1)，N(2，y2)（不妨设y1＞y2）．

∵•=0，

∴(3，y1)•(，y2)=0．

即6+y1y2=0．即y2=-．

由于y1＞y2，则y1＞0，y2＜0．

∴|MN|=y1-y2=y1+≥2=2．

当且仅当y1=，y2=-时，等号成立．

故|MN|的最小值为2．

（1）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），

由|OP|=得x02+y02=，

由•=，得（-c-x0，-y0）•(c-x0，-y0)=，

即x02+y02-c2=，

所以c=，又因为=，所以a2=3，b2=1，

椭圆C的方程为：+y2=1；

（2）由得A(，)，

设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组

消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=，

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=，

∵+=λ，∴x1+x2=λ，y1+y2=λ，

得kMN=-，m=λ，于是x1+x2=，x1x2=，

∴|MN|=|x1-x2|==，

∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=，

∴S△OMN=|MN|d=•

=≤，

当m=，即λ=时等号成立，S△OMN的最大值为．

（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=，所以，F1(-，0)，F2(，0)，

设P（x，y），则 •=(--x，-y)•(-x，-y)=x2+y2-3 

=x2+1--3=(3x2-8)．

因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，•有最小值-2．

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，•有最大值1．

（Ⅱ）设C（x0，y0），B（0，-1），F1(-，0)，由=λ，得 x0=，y0=-，

又 +y02=1，所以有 λ2+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．  

（Ⅲ） 因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|，∴△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8．

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8．