热门试卷

（1）由题意可得：a=，c=，b=1，∴r==2．

∴椭圆C的方程为+y2=1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；

（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．

设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．

∴•=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=(x0-2)2-y02，

∵点B在椭圆+y2=1上，∴+y02=1，∴y02=1-，

∴•=(x0-2)2-1+=(x0-)2，

∵-＜x0＜，∴0≤(x0-)2＜7+4，

∴0≤•＜7+4，即•的取值范围为[0，7+4)

（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为(±，±1)，此时l1⊥l2；

②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x0，y0），直线l的方程为m（y-y0）=x-x0．

联立消去x得到关于y的一元二次方程：

(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，

∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，

化为(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，

∵y02-1≠0，m存在，∴m1m2=．

∵点P在准圆上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，

∴m1m2═-1．

即直线l1，l2的斜率kl1•kl2=-1，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l1⊥l2．

综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，l1⊥l2．

解（I）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1==6，

∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2==，

∴所求的椭圆方程为+=1

（II）由已知A（-6，0），F（4，0），

设点P的坐标为（x，y），则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知得

则2x2+9x-18=0，解之得x=或x=-6，

由于y＞0，所以只能取x=，于是y=，所以点P的坐标为(，)（9分）

（Ⅲ）直线AP：x-y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是=|m-6|，

又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2

∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-=(x-)2+15

又-6≤x≤6∴当x=时，d取最小值

（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，

∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）

当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x2=4y．

（2）设A(x1，)，B(x2，

x2

4

2)

过抛物线A，B两点的切线方程分别是y=x-x12，y=x-

x2

4

2

其交点坐标M(，)

设AB的直线方程y=kx+1代入x2=4y，得x2-4kx-4=0

∴x1x2=-4，M(，-1)，所以点M的轨迹为y=-1

∵=(x1，-1)，=(x2，-1)

∴•=x1x2+(-1)(-1)=-(+)-2

而=(-0)2+(-1-1)2=(+)+2

∴=-1．