椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

已知F1，F2是椭圆x2+2y2=4的焦点，B(0，)，则•的值为______．

正确答案

椭圆x2+2y2=4的a=2，b=，c=，

F1（-，0），F2（，0），

∴=(-，-)，=(，-)，

则•=-2+2=0．

故答案为：0．

题型：填空题

填空题

椭圆+=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，P为以椭圆长轴为直径的圆上任一点，则•=______．

正确答案

设P（m，n），∵F1 （-c，0 ），F2（ c，0），m2+n2=a2，

∴•=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2=a2-c2=b2．

故答案为b2．

题型：简答题

简答题

已知向量=(2，0)，==(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足•=k(•-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．

（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；

（2）当k=时，求|+2|的最大值和最小值；

（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数k的取值范围．

正确答案

（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）

∴=(x，y)，=(x-2，y)，=(x，y-1)，=(x-2，y-1)，d=|y-1|，

因•=k(•-d2)

∴（x，y）•（x-2，y）=

k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|2]

即（1-k）（x2-2x）+y2=0为所求轨迹方程．

当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；

当k=0时，x2-2x+y2=0，动点M的轨迹是圆；

当k≠1时，方程可化为(x-1)2+=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；

当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．

（2）当k=时，M的轨迹方程为(x-1)2+=1，．得：0≤x≤2，y2=-(x-1)2．

∵|+2|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2

=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[-(x-1)2]

=(x-)2+．

∴当x=时，|+2|2取最小值

当x=0时，|+2|2取最大值16．

因此，|+2|的最小值是，最大值是4．

（3）由于≤e≤，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+=1，

①当0＜k＜1时，a2=1，b2=1-k，c2=1-（1-k）=k，e2==k，∵≤e≤，∴≤k≤；

②当k＜0时，a2=1-k，b2=1，c2=（1-k）-1=-k，e2===，∵≤e≤，∴≤≤，而k＜0得，-1≤k≤-．

综上，k的取值范围是[-1，-]∪[，]．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．

（1）求椭圆方程；

（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；

（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使•=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）由题意设椭圆标准方程为+=1．

由已知得，b=，e==．（2分）

则e2===1-，∴1-=．解得a2=6（4分）

∴所求椭圆方程为+=1（5分）

（2）令M（x1，y1），则S△MF1F2=|F1F2|•|y1|=•2•|y1|（7分）

∵点M在椭圆上，∴-≤y1≤，故|y1|的最大值为（8分）

∴当y1=±时，S△MF1F2的最大值为．（9分）

（3）假设存在一点P，使•=0，

∵≠，≠，∴⊥，（10分）

∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）

又∵|PF1|+|PF2|=2a=2 ②（12分）

∴②2-①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴|PF1|•|PF2|=5，（13分）

即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为，故矛盾，

∴不存在一点P，使•=0．（14分）

题型：填空题

填空题

椭圆+=1（a＞b＞0）且满足a≤b，若离心率为e，则e2+的最小值为______．

正确答案

∵a≤b，

e2+=+

=2+•

∵a≤b，，∴a2≤3b2，

∴≥，且≥=

∴•≥×=

∴e2+≥

故答案为：

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