椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：简答题

简答题

（理科做：）已知A（1，1）是椭圆+=1 (a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．

（I）求两焦点的坐标；

（II）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，则说明理由．

正确答案

（I）∵|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，∴a=2，

设椭圆方程为+=1，

把（1，1）代入，得+=1，

∴b2=，

∴c2=4-=，

∴两焦点的坐标F1(-，0)，F2(，0)．

（II）设AC：y=k（x-1）+1，

联立，

得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0，

∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，

∴xC=，

∵AC与AD的倾斜角互补，

∴AD为：y=-k（x-1）+1，

同理，xD=，

∵yC=k（xC-1）+1，

yD=-k（xD-1）+1，

yC-yD=k（xC+xD）-2k，

∴kCD==．

故CD的斜率为定值．

题型：简答题

简答题

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．

（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；

（2）已知椭圆+=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．

①求椭圆离心率的取值范围；

②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

正确答案

（1）设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得

解得

⊙M的方程为x2+y2-cx-c2=0，

⊙M的标准方程为(x-c)2+y2=c2；（5分）

（2）⊙M与x轴的两个交点A(c，0)，C(-c，0)，

又B（b，0），D（-b，0），

由题设即

所以解得＜＜，

即＜e＜．所以椭圆离心率的取值范围为(，)；（10分）

（3）由（1），得M(c，0)．

由题设，得c-b=b-c=c．

∴b=c，D(-c，0)．

∴直线MF1的方程为-=1，

①直线DF2的方程为-+=1．

②由①②，得直线MF1与直线DF2的交点Q(c，3c)，

易知kOQ=为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y=x上．（15分）

题型：填空题

填空题

已知正方形ABCD的坐标分别是（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1），动点M满足：kMB•kMD=-则MA+MC=______．

正确答案

设点M的坐标为（x，y），∵kMB•kMD=-，∴⋅=-．

整理，得+y2=1（x≠0），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A，C两点，

∴MA+MC=2

故答案为2

题型：简答题

简答题

已知椭圆c：+=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．

（1）求椭圆C的标准方程及离心率；

（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．

正确答案

（1）由题意，得，解之得a=2，b=，c=1

故椭圆C的方程为+=1，离心率e=；

（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan=

∴直线AF1的方程为y=（x+1）

设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则，

解之得m=-，n=，可得M坐标为（-，），

∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|

∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|==

直线MF2的方程为y=（x-1），即y=-（x-1）

由解得，所以此时点P的坐标为（-，）．

综上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值为，此时点P的坐标为（-，）．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的方程为+ =1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆为椭圆C的“伴随圆”，椭圆C的短轴长为2，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|= 时，求△AOB面积的最大值．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，e2===1-=，

又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（3分）

∵==2，

∴“伴随圆”的方程为x2+y2=4．（4分）

（Ⅱ）①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．

设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=(k2+1)，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．（6分）

当k≠0时，|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2

=(1+k2)[()2-]

=（1+k2）[-]

=3+

≤3+=4．

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．

当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．（10分）

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