椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

已知点A在圆C：x2+(y-2)2=上运动，点B在以F(，0)为右焦点的椭圆x2+4y2=4上运动，求|AB|的最大值______．

正确答案

∵|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+，当且仅当B，C，A共线时取等号．

因此当|BC|最大值时，|AB|取最大值时．

设B（x，y），则 d2=|BC|2=x2+（y-2）2=4（1-y2）+（y-2）2=-3y2-4y+8=--3(y+

)2+，

∵-1≤y≤1，∴当y=-时，d2最大值为，d最大值为，

|AB|的最大值为+=

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2+y2=b2相切于点Q，且=，则椭圆C的离心率为______．

正确答案

设原点为O，左焦点为F′，连接OQ

∵O为F′F的中点，Q又为PF的中点，

∴|F′P|=2|OQ|，

∵Q为切点，

∴|OQ|=b，|F′P|=2b，OQ⊥PF

∴|PF|=2a-2b，PF′⊥PF

∴4c2=4b2+（2a-2b）2∴3b=2a

∵a2-b2=c2，

∴a2-a2=c2，

∴e=

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知点（x，y）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）的第一象限上运动．

（Ⅰ）求点(，xy)的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）若把轨迹C1的方程表达式记为y=f（x），且在(0，)内y=f（x）有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）设点（x0，y0）是轨迹C1上的动点，∴（2分）

∴x0y0=y2，=x2．

∵点（x，y）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）的第一象限上运动，则x0＞0，y0＞0．

∴+=1．

故所求的轨迹C1方程是+=1（x＞0，y＞0）．（6分）

（Ⅱ）由轨迹C1方程是+=1（x＞0，y＞0），得y=（x＞0）．

∴f(x)==≤=．

所以，当且仅当=a2x，即x=时，f（x）有最大值．（10分）

如果在开区间(0，)内y=f（x）有最大值，只有＜．（12分）

此时，＜⇒＜，解得＜e＜1．

∴椭圆C的离心率的取值范围是(， 1)．（14分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点（1，）在椭圆E上．

（1）求椭圆E的方程

（2）若椭圆E上存在一点 P，使∠F1PF2=30°，求△PF1F2的面积．

正确答案

（1）设椭圆E的方程为 +=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a2-b2=1①，

∵点（1，）在椭圆E上，

∴+=1②，

由①、②得：a2=4，b2=3，

∴椭圆E的方程为：+=1．

（2）由题意知，a=2，b=、∴c=1

又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①

由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4②

把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，③

③-②得（2+）|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=12（2-），

∴S△PF1F2=|PF1|•|PF2|sin30°=6-3、

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a ＞2)上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，

（1）求a及椭圆离心率的值．

（2）若PF2⊥x轴（F2为右焦点），且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．

正确答案

（1）∵椭圆+=1(a ＞2)上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6

∴2a=6

∴a=3

∵b=2，c2=a2-b2

∴c=

∴e==

（2）∵PF2⊥x轴（F2为右焦点），

∴P的横坐标为

∵P在椭圆+=1上

∴y=±

∵P在y轴上的射影为点Q，

∴点Q的坐标为(0，±)．

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