椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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题型：简答题

简答题

已知A(4，)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三点在椭圆+=1上，△ABC的重心与此椭圆的右焦点F（3，0）重合

（1）求椭圆方程

（2）求BC的方程．

正确答案

（1）由题意：⇒，故椭圆方程为：+=1

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），由题意有：=3，=0，故x1+x2=5，y1+y2=-，又+=1，+=1，两式作差可得：+=0．

即：kBC==-•=，

故直线BC的方程为：y-=(x-)，

即：40x-30y-136=0．

题型：简答题

简答题

已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，=(2-)．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．

正确答案

（1）直线l的方程为x=y-c，

由，

消去x得，（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=①，

y1y2=②，

又由=(2-)，

得=-(2-)③，

由①②得=++2==-2，

∴a2+b2=2c2，a2=3b2，

∴2a2=3c2，

∴e=．

（2）|AB|=|y1-y2|

=×==a=3，

∴b2=3

∴椭圆标准方程为+=1．

题型：填空题

填空题

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

正确答案

如图，设椭圆的标准方程为+=1，

由题意知，2a=4，a=2．

∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（-1，1），

因点C在椭圆上，∴+=1，

∴b2=，

∴c2=a2-b2=4-=，c=，

则Γ的两个焦点之间的距离为．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆+=1(a＞b＞0)于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，

而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2．

（1）求此椭圆的方程；

（2）设此椭圆的左焦点为F1，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F2PF1=60°？并证明你的结论．

正确答案

解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，

两式相减得=-=-①，

由=c，=0，得x1+x2=3c，y1+y2=-b，代入①

得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②；

∵M、N在直线L上，得6（x1+x2）-5（y1+y2）=56⇒18c+5b=56③；

由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a2=20，

因此椭圆方程为：+=1．

（2）证明：cos∠F1PF2=

=≥-1=＞，

∴∠F1PF2＜60°，

∴使∠F1PF2=60°的点P不存在．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为3，求椭圆的方程．

正确答案

设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）．

因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，

即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）

又因S△PF1F2=3，所以|PF1|•|PF2|sin=3，得|PF1|•|PF2|=12．

所以4c2=4a2-36，又e==，

故a2=25，c2=16，b2=9，

∴所求椭圆的方程为+=1．…（12分）

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