热门试卷

（1）依题意得c=，2a=4，

解得a=2，c=，从而b=1．

故椭圆的方程为 +=1．

（2）在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，

∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2)2=12 ①

又|PF1|+|PF2|=2a=4，平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，=2 ②，

②-①得3|PF1|•|PF2|=4，即 |PF1|•|PF2|=，

∴△F1PF2的面积 S=|PF1|•|PF2|sin60°=．

∴∠F1PF2=，△F1PF2的面积．

（1）当且仅当⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）

当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）

（2）化简得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）

△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）

双曲线的实轴为2，当k=6时，双曲线实轴最长为2

此时双曲线方程为-=1-------（10分）

（3）由（1）知C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，结合图象的几何性质

任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}

由椭圆与双曲线定义及•=0；所以m+n=8-----（16分）

所以这样的Cm，Cn存在，且或或-----（18分）

（I）由题意可得，解得．

故椭圆的方程为+=1．

（II）若直线l⊥x轴，则P(-1，)，Q(-1，-)，

又A（2，0），∴=(-3，)，=(-3，-)，

∴•=9-=≠3，此时不满足条件，直线l不存在．

当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，消去y得到（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=．

∵=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)．

∴•=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（x1-2）（x2-2）+k（x1+1）•k（x2+1）=3．

∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0，

∴-+k2+1=0，

解得k=±．

∴满足条件的直线l存在，其方程为y=±(x+1)．

（1）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），

则由|OP|=得+=；

由•=得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=，

即+-c2=．

所以c=1

又因为=，所以a2=2，b2=1．

因此所求椭圆的方程为：+y2=1．

（2）动直线l的方程为：y=kx-，

由得(2k2+1)x2-kx-=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=，x1x2=-．

假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则=(x1，y1-m)，=(x2，y2-m)．

•=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2

=x1x2+(kx1-)(kx2-)-m(kx1-+kx2-)+m2

=(k2+1)x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+m+

=--k(+m)+m2+m+

=

由假设得对于任意的k∈R••=0恒成立，

即解得m=1．

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点M的坐标为（0，1）