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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数(为常数)是实数集R上的奇函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.

(1)求的值;

(2)若在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围;

(3)讨论关于x的方程的根的个数.

正确答案

见解析

解析

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0..  (2) ∵a=0,∴f(x)=x,g(x)=λx+sinx. ∵g(x)在[-1,1]上是减函数,

即可. 恒成立.令.

恒成立,    (3)∵f(x)=x,∴方程为  令

∴在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数;

当x=e时,

∴当,即时,方程无解,根的个数为0个; 当,即时,方程有1个根; 当,即时,方程有2个根.

知识点

指数函数的图像变换
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知数列是公比为的等比数列,且,则的值为()

A3

B2

C3或-2

D3或-3

正确答案

D

解析

知识点

指数函数的图像变换
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数.

(1)求函数的极大值.

(2)求证:存在,使

(3)对于函数定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得都成立,则称直线为函数的分界线.试探究函数是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)……………………………………(1分)

解得

解得.……………………………………………………(2分)

∴函数在(0,1)内单调递增,在上单调递减. ……………(3分)

所以的极大值为 …………………………………………(4分)

(2)由(1)知在(0,1)内单调递增,在上单调递减,

 ………………………………………………(5分)

 ………………………………(6分)

故存在使即存在使

………………………………………………(7分)

(说明:的取法不唯一,只要满足即可)

(3)设

则当时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增。

是函数的极小值点,也是最小值点,

∴函数的图象在处有公共点().………(9分)

存在“分界线”且方程为

令函数

①由,得上恒成立,

上恒成立,

,故………………………………………(11分)

②下面说明:

恒成立.

∵当时,,函数单调递增,

时,,函数单调递减,

∴当时,取得最大值0,.

成立.………………………………………(13分)

综合①②知

故函数存在“分界线”

此时…………………………………………………(14分)

知识点

指数函数的图像变换
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球为O的表面积为     。

正确答案

解析

圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径,即球半径为,所以球的表面积为

知识点

指数函数的图像变换
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知上的奇函数,对都有成立,若,则等于

A2014

B2

C0

D-2

正确答案

C

解析

知识点

指数函数的图像变换
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数的定义域是  。

正确答案

(0,4]

解析

要使函数有意义,必有+2≥0,因为0<a<1时对数函数是减函数,

所以+2≥0可得,所以0<x≤4

故答案为:(0,4]

知识点

指数函数的图像变换
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人,为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩,并得到成绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀.

甲校:

乙校:

(1)  求表中的值;

(2)  由以上统计数据完成下面2x2列联表,问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关?

(3)  若以样本的频率作为概率,现从乙校总体中任取 3人(每次抽取看作是独立重复的),求优秀学生人数的分布列和数学期望.(注:概率值可 用分数表示)

正确答案

见解析。

解析

(1)甲校抽取:人,乙校抽取人,

(2)

,所以没有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关

(3)由题知,乙校优秀的概率是,且,分布列如下:

数列期望为

知识点

指数函数的图像变换
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数f(x)=,若f(a)+f (1)=0,则实数a的值等于(    )

A-3

B1

C3

D-1

正确答案

A

解析


知识点

指数函数的图像变换
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

设函数y=-3+log2(x-1)(x≥5),则其反函数的定义域为 ________  。

正确答案

解析


知识点

指数函数的图像变换
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面为菱形,的中点,

(1)点在线段上,,试确定的值,使平面

(2)在(I)的条件下,若平面平面ABCD,求二面角的大小。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)当时,平面

证明:连,连

可得,,所以

,即

平面,故平面。                    …………………4分

(2)由PA=PD=AD=2, Q为AD的中点,则PQ⊥AD

又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,连BD,

∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB, 由 ∠BAD=60°得△ABD为正三角形,

又∵Q为AD中点, ∴AD⊥BQ                                         ……8分

以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为

设平面MQB的法向量为

可得

令z=1,解得

取平面ABCD的法向量,设所求二面角为

    故二面角的大小为60°。   ………………12分

知识点

指数函数的图像变换
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